Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 21. 07. 2021 20:26 — Editoval surovec (21. 07. 2021 20:30)
Rubikova kostka
U Rubikovy kostky se uvádí 43 trilionu možnosti, jak mohou být barvy (kostičky) vyskladany. Mně však vychází cca 519 trilionu. Co vychází vám? (Kdyztak pak napíšu svůj postup.)
Edit: teď vidím, že to je 12x méně (2^2*3), že by tedy některé pozice nemohly nastat? Rohy se umístí 3^8*8! a středy hran 2^12*12! (podle mě).
Offline
#2 21. 07. 2021 23:45
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Rubikova kostka
Ahoj, některé pozice opravdu nemohou nastat, ale určitě o tom někde na internetu bude zmínka.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#3 22. 07. 2021 08:15
Re: Rubikova kostka
↑ check_drummer:našel jsem něco v tom smyslu, že když umístím 7 rohových kostek, tak pozice osmé už je dána (nelze pootocit). Ale proč, to nevím...
Offline
#4 22. 07. 2021 13:55
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Rubikova kostka
Asi tam bude nějaký invariant, jakože nějaká suma modulo něco se při otočení nějakou stranou nemění. Kdysi jsem o tom četl, ale už si to nepamatuju. Někde v antikvariátu jsem o tom našel celej časopis.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 22. 07. 2021 14:19
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1047
- Reputace: 18
- Web
Re: Rubikova kostka
Představme si, že Rubikovu kostku rozeberme a kostky tam náhodně poskládáme.
Máme možností: (2^12)*12! * (3^8)*8! ~ 5*(10^20) (asi 500 trilionů)
Točením kostkou však můžeme získat je 1/12 možností tj. asi 42 trilionů.
Existuje celkem 12 disjunktních tříd možností, přičemž ze třídy do třídy se nelze dostat točením.
Pouze jedna rohová otočená, pouze jedna hranová otočená, pouze 2 kostky prohozené, složená kostka.
Viz též působení grupy na množině, také rozklad na třídy podle ekvivalence.
O Rubikově kostce je též na mém webu www.tucekweb.info.
Offline
#6 23. 07. 2021 09:58
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Rubikova kostka
↑ Richard Tuček:
Ahoj, myslím že surovce zajímá to, proč je těch tříd právě 12.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#7 23. 07. 2021 12:41 — Editoval vanok (25. 07. 2021 00:01)
Re: Rubikova kostka
Pozdravujem,
Toto sa oblati precitat http://geometer.org/rubik/group.pdf
Alebo aj
https://math.berkeley.edu/~hutching/rubik.pdf
http://people.math.harvard.edu/~jjchen/ … 20Cube.pdf
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_m … k%27s_Cube
https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/rubik.pdf
https://www.fuw.edu.pl/~konieczn/RubikCube.pdf
Atd.
Niektore z tycto citani su priliz tazke pre bezneho stredoskolaka. No ale aspon si moze pokukat vysledky, ktore mozno bude schopny nesskor dokazat.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#8 25. 07. 2021 23:16
Re: Rubikova kostka
Aj toto si pozrite: https://en.wikipedia.org/wiki/God%27s_a … =377991633
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#9 16. 08. 2021 13:44
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2584
- Reputace: 132
Re: Rubikova kostka
↑ surovec:
to proto, že krychle má osm vrcholů. Takže když jich umístíš sedm, osmý roh je jasný. Ledaže by se změnil na střed strany, anebo stěny. A to asi sotva :-)
Takže poloh rohů je jenom sedm, poloh středů stran taky sedm a středů stěn jen pět...
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#10 16. 08. 2021 17:34
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Rubikova kostka
↑ Eratosthenes:
To ale není správný důvod, protože třeba tou rohovou kostičkou jde otáčet - ta má 3 možné pozice, ale co psal surovec je, že jakmile ostatní rohové kostičky umístíš, tak je už dána nejen pozice (to je jasné), ale i orientace (otočení) té poslední rohové kostky. A to zřejmé není.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#11 16. 08. 2021 21:23
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2584
- Reputace: 132
Re: Rubikova kostka
↑ check_drummer:
Je. Otočit jen jeden roh nikdy nejde. To bys ho musel vyloupnout, otočit mimo kostku, a pak ho tam vrátit.
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#12 16. 08. 2021 22:11
Re: Rubikova kostka
Poznamka:
V citaniach v#6 a#7 sa najdu jasne vysvetlenia.
Je asi kazdemu jasne, ze kazda zo 6 stran kocky sa moze otocit v hodinovom smere a ze ich kombinacie generuju lubovolnu moznu (povolenu)polohu kocky.
Je tiez jasne, ze tychto 6 otoceni generuje “Rubikovu” grupu kocky.
Je preto prirodzene pouzit na riesenie roznych problemov tykajuch sa tejto kocky teoriu grup.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#13 17. 08. 2021 10:43
Re: Rubikova kostka
↑ Eratosthenes:
To bylo jasné hned od začátku, že poslední roh nejde natáčet. Ale proč? Vysvětlení, že "bys ho musel vyloupnout" je poněkud "na vodě".
Offline
#14 17. 08. 2021 14:15
#15 17. 08. 2021 14:16
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Rubikova kostka
Podle mě ten důkaz bude stát na nějakém invariantu, který by se otočením jen jednoho rohu změnil.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#16 17. 08. 2021 16:02
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2584
- Reputace: 132
Re: Rubikova kostka
↑ surovec:
↑ check_drummer:
Dokázat to neumím, ale četl jsem to před mnoha a mnoha lety v nějakém matematickém časopise právě v článku o grupách, kde se takto ilustrovala jakási věta. Vezmi složenou kostku, vyloupni jeden roh, pootoč ho a vrať na místo. Dostaneš "téměř složenou" kostku, kde je špatně jeden roh a tu složit nelze (pokud si po těch letech dobře pamatuju)...
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#17 17. 08. 2021 16:46
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2584
- Reputace: 132
Re: Rubikova kostka
↑ check_drummer:
↑ surovec:
říká se tomu legální a ilegální stav. Ilegální stav je, když kostku rozebereš a kostičky poskládáš tak, že kostku nelze složit, aniž bys ji znovu rozebral.
O tom, zda je stav legální, anebo ilegální (tj. složitelný, anebo nesložitelný) rozhoduje součet tzv. orientací jednotlivých kostiček. Správně umístěná kostička má nula, nesprávně umístěná jedna (špatně orientovaný střed hrany), nebo taky dva (roh může být špatně orientovaný dvěma způsoby). Legální součet je vždycky nula modulo 3. Takže ze složené kostky "ilegálně" přehodíš střed jedné hrany, máš součet jedna a kostku nesložíš. Přehodíš jeden roh, máš součet jedna, anebo dva a nesložíš...
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#18 17. 08. 2021 18:24 — Editoval check_drummer (17. 08. 2021 18:24)
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Rubikova kostka
↑ Eratosthenes:
Takže to bude asi ten invariant. Stačí jen dokázat, že otočením nějaké stěny se hodnota invariantu nezmění.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline