Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 08. 2021 23:51

žabí hněv
Příspěvky: 68
Reputace:   
 

Nejmenší čtverce

Ahoj mám dotaz na následující úlohu.

Uvažuju model měření:
[mathjax]y_k = \theta^0 + v_k\,~~~~k=0,1,\dots N[/mathjax],
kde [mathjax]y_k[/mathjax] je  měřený výstup, [mathjax]\theta^0[/mathjax] je neznámý parametr a [mathjax]v_k \in \mathbb{R}[/mathjax] je šum měření reprezentovaný bílým stochastickým procesem s rovnoměrným rozdělením  s nulovou střední hodnotou a známou variancí [mathjax]\sigma^2[/mathjax].

Na základě měření [mathjax]y_1, y_2,\dots,y_N[/mathjax] je neznámý parametr [mathjax]\theta^0[/mathjax] odhadnut dle vztahu [mathjax]\hat{\theta} = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^N y_k[/mathjax].

Mám rozhodnout, zda tento odhad minimalizuje kritérium nejmenších čtverců [mathjax]J(\theta) = \sum_{k=0}^{N} \frac{(y_k-\theta)^2}{\sigma^2}[/mathjax].

Opravdu nevím jak s tím pohnout, každá nápověda bude fajn. Určitě nechci, aby to tady za mě někdo vypočítal.

Děkuji.

Offline

 

#2 25. 08. 2021 00:17

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Nejmenší čtverce

žabí hněv napsal(a):

Mám rozhodnout, zda tento odhad minimalizuje kritérium nejmenších čtverců [mathjax]J(\theta) = \sum_{k=0}^{N} \frac{(y_k-\theta)^2}{\sigma^2}[/mathjax].

Řekl byc, že pokud funkce [mathjax]J(\theta)[/mathjax] nabývá v nějakém bodě minima (a je spojitá a hladká) tak v tomto bodě musí být [mathjax]\frac{d}{d \theta}J(\theta)=0[/mathjax]

Offline

 

#3 25. 08. 2021 10:14 — Editoval žabí hněv (25. 08. 2021 10:15)

žabí hněv
Příspěvky: 68
Reputace:   
 

Re: Nejmenší čtverce

↑ MichalAld:

Děkuji za reakci. Ano trochu jsem se leknul derivace té sumy.
Zkusil jsem si to rozepsat takto:
[mathjax]\sum_{k=0}^{N}(\frac{y_k-\theta}{\sigma})^2 = (\frac{y_0-\theta}{\sigma})^2 + (\frac{y_1-\theta}{\sigma})^2 + \dots + (\frac{y_N-\theta}{\sigma})^2[/mathjax]

Umocnil jsem pravou stranu
[mathjax]\sum_{k=0}^{N}(\frac{y_k-\theta}{\sigma})^2 = \frac{y_0^2-2y_0\theta+\theta^2}{\sigma^2}+\frac{y_1^2-2y_1\theta+\theta^2}{\sigma^2} + \dots + \frac{y_N^2-2y_N\theta+\theta^2}{\sigma^2}[/mathjax]

A zderivoval dle [mathjax]\theta[/mathjax] a položil rovno nule, abych našel stacionární bod.
[mathjax]\frac{-2y_0}{\sigma^2}+\frac{2\theta}{\sigma^2} + \frac{-2y_1}{\sigma^2}+\frac{2\theta}{\sigma^2}+\dots + \frac{-2y_N}{\sigma^2}+\frac{2\theta}{\sigma^2} =0[/mathjax]

vyšlo mi
[mathjax]\theta = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N}y_k[/mathjax]

takže stačí ověřit, že druhá derivace je větší něž nula a další derivace jsou nulové, čímž jsem našel minimum, tedy nejlepší odhad ve smyslu nejmenších čtverců.

Za připomínky budu rád. Děkuji

Offline

 

#4 25. 08. 2021 13:41

Brano
Příspěvky: 2612
Reputace:   227 
 

Re: Nejmenší čtverce

1) krok kde umocnujes na druhu je spravny ale "zbytocne komplikovany" derivuje sa to aj bez neho dobre
2) tretiu a dalsie derivacie nepotrebujes; aj keby neboli vysli nulove tak sa nic nestane

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson