Matematické Fórum

Funkce [mathjax]y=\sin x[/mathjax] má periodu [mathjax]2\pi[/mathjax], neboť po této hodnotě se průběh funkce opakuje,
graf viz např. https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dsin%28x%29 , platí tedy

     [mathjax]\sin(x+2\pi)=\sin x [/mathjax].

Určíme periodu funkce [mathjax]y=\sin 2x[/mathjax]:

     [mathjax]\sin(2x+2\pi)=\sin 2x [/mathjax]
     [mathjax]\sin 2(x+\pi)=\sin 2x [/mathjax], tj. perioda je [mathjax]\pi[/mathjax].

Podobně určíme periodu funkce [mathjax]y=\cos \frac{x}{2}[/mathjax].

Z grafů vidíme, že obě funkce mají "začátek" některé periody ve stejném bodě (pro stejné [mathjax]x[/mathjax]), a protože jedna perioda je násobkem druhé, součet těchto funkcí bude také periodická funkce. Zbývá uvážit, jaká bude perioda.

Ještě doplním - když někdy zapomenu, jakou periodu má např. funkce [mathjax]y=\sin 2x[/mathjax], podívám se na nulové body.

Funkce [mathjax]y=\sin x[/mathjax] má nulové body [mathjax]0, \pi, 2\pi,\dots[/mathjax], neboli

     [mathjax]\sin x=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=k\pi[/mathjax]
     
Hledám nulové body funkce [mathjax]y=\sin 2x[/mathjax]

     [mathjax]\sin 2x=0 \quad\Leftrightarrow\quad 2x=k\pi \quad\Rightarrow\quad x=k\frac{\pi}{2}[/mathjax].

Nulové body jsou 2x blíž u sebe než u sinu, proto i perioda je poloviční ([mathjax]\pi[/mathjax]).