Matematické Fórum

lddangsta · 18. 09. 2017 18:30

Zdravím,

jak byste vyřešili následující úlohu? (povolena je pouze tužka a papír):

Jaký úhel svírá přímka procházející body [1,1] a [−3,−3] s vektorem (−3, √3)?

Odpověď je: $\frac{5\pi}{12}$

Jak jsem postupoval:

Úhel jsem počítal přes skalární součin, ale jelikož není povolena kalkulačka, abych použil inverzní funkci cosinus, použil jsem vzorec pro poloviční úhel.

1. Nejprve jsem si zjistil směrový vektor dané přímky, což je (1, 1)
2. Poté jsem použil skalární součin:

$\cos(x) = (1, 1) \cdot (-3, \sqrt{3}) = \frac{-3 + \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}$

3. Poté jsem tento výraz upravil tak, aby odpovídal vzorci pro poloviční úhel

Vzorec:

$|\sin(\frac{\alpha}{2})| = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$

Úprava:

$\frac{-3 + \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2} \cdot 2} = \sqrt{\frac{(-\sqrt{3}+1)^{2}}{(\sqrt{2} \cdot 2)^2}} = \sqrt{\frac{4-2 \cdot \sqrt{3}}{8}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{6})}{2}}$

A tedy:

$|\sin(\frac{\alpha}{2})| = \sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{6})}{2}}$

4. Podle vzorce pro poloviční úhel je alpha/2 = pi/12:

$\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{12}$

$|\sin(\frac{\alpha}{2})| = \sin(\frac{\pi}{12})$

5. Když se vrátíme na začátek výpočtu, tak si všimneme, že sinus tohoto úhlu je roven cos(x):

$\sin(\frac{\pi}{12}) = \cos(x)$

6. Podle vzorce sin(a) = cos(a - pi/2) převedeme náš sinus na cosinus:

$\sin(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{5\pi}{12}) = \cos(\frac{5\pi}{12})$

7. Úhel, který svírají dané přímky, je tedy 5pi/12:

$\cos(x) = \cos(\frac{5 \pi}{12})$

$x = \frac{5 \pi}{12}$

zdenek1 · 18. 09. 2017 20:27

↑ lddangsta:
Proti gustu ...
já bych pokračoval
$\frac{-3 + \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}=$
$=\frac12\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt3}2\frac{\sqrt2}2=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4-\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4$

LukasM · 18. 09. 2017 20:34

↑ lddangsta:
A já bych si to namaloval, všiml si, že přímka svírá s osou x úhel 45 stupňů, a protože vím, že $\mathrm{arctg}\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ , je to už jen o sečtení těch dvou čísel. On je celý postup totiž dost závislý na tom, jaké hodnoty goniometrických funkcí znám nebo neznám.