Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 18. 10. 2021 18:57 — Editoval Drevokocour (18. 10. 2021 19:02)
- Drevokocour
- Zelenáč
- Příspěvky: 2
- Reputace: 0
Mat indukce
Ahojte
Spatne jsem ve skole pochopil jak to resit:
Dokazte matematickou indukci, ze muzeme zaplatit libovolnou castku n (n je cele cislo), kde n je vetsi nez 4. Dokazte to uzitim 2 a 5 korunami.
Vim, ze to mam zapsat jako
Dokazame pro n = 5
5 = 2x + 5y
5 = 2*0 + 5*1
Ale nevim jak to dokazat pro n=k a n=k+1
Offline
#2 18. 10. 2021 19:13
Re: Mat indukce
↑ Drevokocour:
Při důkazu matematickou indukcí nejprve dokážeme, že tvrzení platí pro nějaký nejmenší prvek (v tomto případě 4). V dalším kroku předpokládáme platnost výroku pro k (to tedy nedokazujeme) a dokazujeme pro k+1.
Takže, nejdříve dokaž, že lze zaplatit částku n=4 korun pomocí 2 a 5 korun. Pak předpokládej, že můžeš zaplatit částku n=k pomocí 2 a 5 korun a dokaž, že pokud to platí pro n=k, platí to i pro n=k+1.
Offline
#3 18. 10. 2021 20:15 — Editoval Drevokocour (18. 10. 2021 20:16)
- Drevokocour
- Zelenáč
- Příspěvky: 2
- Reputace: 0
Re: Mat indukce
↑ ArturBak: Pokud zapisu takhle?
Dokazeme ze plati pro n = 4
4 = 2x + 5y
spravne pro x,y = 2,0
Predpokladame ze plati pro n = k
k = 2x + 5y
Dokazeme pro n = k + 1
k + 1 = 2x + 5y + 1
Offline
#4 18. 10. 2021 23:17
Re: Mat indukce
↑ Drevokocour:Nesustreduj sa na zapis, ale na myslienky. Ak zaplatime sumu [mathjax]k[/mathjax] pomocou 2 a 5 korun, ako zaplatime sumu [mathjax]k+1[/mathjax]? Podla toho, co pises, pridame 1 korunu, tie ale k dispozicii nemame.
Offline
#5 19. 10. 2021 09:31
- nejsem_tonda
- Příspěvky: 649
- Reputace: 54
Re: Mat indukce
↑ Drevokocour:
Ahoj,
souhlasim s Vladem, ze je lepsi se nejdriv soustredit na myslenky (az potom pripadne na zapis).
Indukci lze provest vice zpusoby. Ten nejcastejsi je, ze nekde zacneme a potom "skaceme o 1". Napriklad ukazu, ze tvrzeni plati pro [mathjax]n=10[/mathjax] a potom ukazu, ze kdyz tvrzeni plati pro [mathjax]n[/mathjax], musi platit i pro [mathjax]n+1[/mathjax]. To by se dalo shrnout schematicky:
[mathjax]10 \longrightarrow 11 \longrightarrow 12 \longrightarrow 13 \longrightarrow 14 \longrightarrow \ldots[/mathjax]
Diky tomu budu vedet, ze tvrzeni plati pro kazde [mathjax]n\geq10[/mathjax]
Indukce ale muze probihat i mnoha jinymi zpusoby. Napriklad dokazu tvrzeni pro [mathjax]n=15[/mathjax] a taky pro [mathjax]n=16[/mathjax] a potom ukazu, ze kdyz tvrzeni plati pro [mathjax]n[/mathjax], musi platit i pro [mathjax]n+2[/mathjax]. To si predstavuju takto:
[mathjax]15 \longrightarrow 17 \longrightarrow 19 \longrightarrow 21 \longrightarrow 23 \longrightarrow \ldots[/mathjax]
[mathjax]16 \longrightarrow 18 \longrightarrow 20 \longrightarrow 22 \longrightarrow 24 \longrightarrow \ldots[/mathjax]
Ze schematu je doufam videt, ze tedy budu vedet, ze tvrzeni plati pro kazde [mathjax]n\geq15[/mathjax].
Takhle si muzu vybrat i vetsi pocet "zakladnich pripadu", napr. [mathjax]n=8, n=10, n=15, n=17[/mathjax], a jine "skakani", napr. [mathjax]n \longrightarrow n+4[/mathjax]. Pak indukce probiha takto:
[mathjax]8 \longrightarrow 12 \longrightarrow 16 \longrightarrow 20 \longrightarrow 24 \longrightarrow \ldots[/mathjax]
[mathjax]10 \longrightarrow 14 \longrightarrow 18 \longrightarrow 22 \longrightarrow 26 \longrightarrow \ldots[/mathjax]
[mathjax]15 \longrightarrow 19 \longrightarrow 23 \longrightarrow 27 \longrightarrow 31 \longrightarrow \ldots[/mathjax]
[mathjax]17 \longrightarrow 21 \longrightarrow 25 \longrightarrow 29 \longrightarrow 33 \longrightarrow \ldots[/mathjax]
Tim budu mit tvrzeni dokazane pro kazde [mathjax]n\geq14[/mathjax] (a navic jeste pro [mathjax]n=8, 10, 12[/mathjax]).
Zalezi na povaze ulohy, jake zakladni pripady si vyberu a jake skakani si vyberu. Ve tve uloze si myslim, ze skakani [mathjax]n \longrightarrow n+1[/mathjax] neni prirozene. Vybral bych si jine skakani, tedy jine schema pro indukci. Jestli jsi docetl(a) az sem, zkus vybrat vhodne schema indukce pro tvou ulohu. Potom se uloha stane intuitivne jasnou a muzeme se pak pripadne venovat zapisu.
Offline