Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 25. 10. 2021 22:25
Rychlost jednostupňové rakety
Zdravím, potřeboval bych pomoc s tímto příkladem:
Z jednostupňové rakety s počáteční hmotností[mathjax]m_{0}[/mathjax] Ciolkovského číslem C unikají plyny výtokovou rychlostí [mathjax]\overrightarrow{u}[/mathjax]. Předpokládejte, že hmotnost rakety se mění podle vztahu
[mathjax]m= m_{0}\cdot e^{-kt}, k>0[/mathjax]
a že odpor prostředí je zanedbatelný. Vypočtěte velikost rychlosti rakety v obecné vzdálenosti r od středu Země, mění-li se gravitační zrychlení podle vztahu [mathjax]a_{g}=g\cdot \frac{R^2}{r^2}[/mathjax].
Vím, že Ciolkovského číslo je [mathjax]C=\frac{m_{0}}{m}[/mathjax] a rychlost raktety by měla být [mathjax]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{0}}+\overrightarrow{u}\cdot \ln C[/mathjax], ale upřímně nevím jak s tím příkladem pohnout. Pro informaci výsledek je [mathjax]v=\sqrt{2uk(r-R)+2gR^2(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})}[/mathjax].
Předem děkuji za pomoc.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Herefrei)
#2 25. 10. 2021 23:29
Re: Rychlost jednostupňové rakety
Ahoj, pokud je tvuj vzorecek spravne, tak bych rekl, ze pro rychlost rakety urychlene plyny plati
[mathjax] {\displaystyle v_p = v_0 + u\cdot\ln C = 0 + u\cdot \ln \frac{m_0}{m} = u\cdot \ln\mathrm{e}^{kt} = ukt. } [/mathjax]
Takze zrychleni takove rakety splnuje
[mathjax] {\displaystyle a_p = v'_p = uk } [/mathjax]
Od toho ale musime odecist gravitacni zrychleni, takze celkove zrychleni rakety je
[mathjax] {\displaystyle a = a_p - a_g = uk - g \frac{R^2}{r^2}. } [/mathjax]
Vyuzijeme-li toho, ze [mathjax] a=s'' [/mathjax] a [mathjax] r = R+s [/mathjax], ziskame diferencialni rovnici:
[mathjax] {\displaystyle s'' = uk - g \frac{R^2}{(R+s)^2} }[/mathjax]
Po prenasobeni cele rovnice [mathjax]s'[/mathjax], ziskame:
[mathjax] {\displaystyle \left(\frac{v^2}{2}\right)' = \left(\frac{s'^2}{2}\right)' = s'' s' = uks' - g \frac{R^2s'}{(R+s)^2} = \left(uks + g\frac{R^2}{R+s}\right)', }[/mathjax]
takze
[mathjax] {\displaystyle \frac{v^2}{2} = A + uks + g\frac{R^2}{R+s} } [/mathjax]
Konstantu [mathjax]A[/mathjax] uz zvladnes dopocitat sam (kdyz [mathjax] s=0[/mathjax], musi byt i [mathjax]v=0[/mathjax]).
Offline