Matematické Fórum

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem:

Uvažujme vektory u=(1,2,3) a v=(3,2,1) z vektorového prostoru [mathjax]\mathbb{Z}^{3}_{p}[/mathjax], kde p je prvočíslo větší než 5. Které z následujících výroků jsou pravdivé?

1. Je-li (u,z) LN pro nějaké [mathjax]z \in \mathbb{Z}^{3}_{p}[/mathjax] , potom existuje [mathjax]\alpha  \in \mathbb{Z}^{3}_{p}[/mathjax] tak, že u = alfa * z. Moje úvaha: Ne, to jde proti definici LN.

2. Pro alespoň jedno p existuje [mathjax]\alpha  \in \mathbb{Z}^{3}_{p}[/mathjax] takové, že soubor vektorů (v, u, v + alfa*u) je LN. Moje úvaha: ne, to by se jednalo o lineární kombinaci a tedy příklad lineární závislosti.

3. Je-li (u,v,z) LN pro nějaké [mathjax]z  \in \mathbb{Z}^{3}_{p}[/mathjax] , pak je také (u,−v,z) LN. Moje úvaha: Mylsím, že ne, ale nevím, o jaký protipříklad to opřít.

4. Soubor (u,v) je LN pro všechna uvažovaná prvočísla p. Moje úvaha,: Ne, pro p =  je LZ.

Uvažuji správně? Díky