Matematické Fórum

↑ Zetom:

   Hledáš intervaly monotonosti pomocí první derivace a to tak, že ji položíš rovnu nule. Takže body, kdy je první derivace rovna nule už nefigurují v intervalech monotonosti. Pak by snad neměla nastat situace, kterou popisuješ nebo možná v nějakých nepěkných funkcích, kdo ví.. :)

↑ Zetom:
Platí věta "Je-li funkce f na intervalu (a,b) neklesající a v některém bodě x tohoto intevalu existuje derivace f '(x) , pak je f '(x)  >= 0."
Ani kdybychom předpoklád zesílili na "f je rostoucí",  nemusí to znamenat, že pak nutně f '(x)  > 0 , příkladem je f(x) = x^3  na  (-1, 1)
v bodě x = 0, kdy  f '(0) = 0.
Nemluvě o případech funkcí, které v některých bodech derivaci nemají (takových bodů u monotonní funkce ale není mnoho - tvoří množinu
Lebesgueovy míry 0).
Dalším - ještě výraznějším - příkladem tohoto efektu je Cantorova funkce.

Naproti tomu, pokud u  funkce f rostoucí na intervalu (a,b) existuje její derivace ve všech bodech tohoto intervalu, pak z Lagrangeovy věty
o střední hodnotě plyne, že v každém intervalu (u,v), kde a < u < v < b, existuje bod w, v němž .

Dále: Pokud fce f je na intervalu (a,b) neklesající, avšak není rostoucí, potom existuje interval (u,v), na němž je konstantní a tudíž tam je f ' = 0 .

Zejména pak platí věta
"Má-li fce f všude v (a, b) kladnou derivaci, pak je v tomto intervalu rostoucí".

Obdobné věty - s opačným znaménkém derivace - platí pro obrácený druh monotonie.

EDIT: Nulové body derivace nám pomohou následujícím způsobem:
Předpokládejme, že f je definována na (a,b) a má zde spojitou derivaci f '. Vyloučíme případ, kdy jde o konstantní funkci. Pak existuje bod  ,
v němž je f '(c) nenulová -nechť např.  f '(c)  > 0 . Ze spojitosti f ' to znamená, že f '> 0 na nějakém intervalu (u,v) obsahujícím bod c ,
tedy f je rostoucí na tomto intervalu. Chceme ovšem nalézt maximální takový interval.  Jeho horní hranici můžeme zvětšovat tak dlouho,
dokud podmínka  f '> 0 na (u,v) nebude porušena nějakým nulovým bodem fce f ', v němž by tato funkce změnila znaménko, nebo dokud nenarazíme
na horní hranici intervalu (a,b), tedy na bod b. Obdobně pokud jde o rozšiřování intervalu (u,v) sěrem doleva.