Matematické Fórum

Zdravím, potřebuji pomoc s tímto příkladem:

Raketa s počáteční hmotností [mathjax]M[/mathjax], kde palivo má hmotnost [mathjax]M-m[/mathjax], spaluje v do vyčerpání paliva v čase [mathjax]\tau [/mathjax] konstantně (tj. úbytek hmotnosti za 1 s je konstantní) a plyny opouštějí trysky rychlostí o velikosti [mathjax]u[/mathjax]. Raketa startuje z klidu a pohybuje se svisle vzhůru v homogenním tíhovém poli. Ukažte, že raketa dosáhne maximální rychlosti

[mathjax]v_{max}=u\ln (\frac{M}{m})-g\tau [/mathjax]

a výška dosažená v okamžiku vyhoření paliva je

[mathjax]H=u\tau (1-\frac{\ln (\frac{M}{m})}{\frac{M}{m}-1})-\frac{1}{2}g\tau ^{2}[/mathjax].


Velkou část příkladu už mám spočítanou, odvodil jsem tu maximální rychlost z rovnice

[mathjax]\frac{dv}{dt}=-g+\lambda u\Rightarrow v=(\lambda u-g)\tau [/mathjax]

kde [mathjax]\tau =\frac{1}{\lambda }\ln \frac{M}{m}[/mathjax]

a to znamená, že

[mathjax]v_{max}=u\ln (\frac{M}{m})-g\tau [/mathjax].

Když tu rychlost zderivuju podle času, získám zrychlení [mathjax]a=\lambda u-g[/mathjax],což můžu dosadit do vzorce

[mathjax]H=\frac{1}{2}a\tau ^2[/mathjax].

Nedokážu se ale dostat k tomu výsledku který je v zadaní. Předem děkuji za pomoc.