#1 09. 11. 2021 10:10
Jensenova nerovnost
Dobrý den, studoval jsem studijní text nerovnosti https://prase.cz/archive/29/9.pdf na straně 36 jsou cvičení bez řešení a zaboha na ně nemůžu přijít, jde o použití Jensenovy nerovnosti.
[mathjax]\sqrt[]{a^{3}}+\sqrt[]{b^{3}}+\sqrt[]{c^{3}}\le \sqrt{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}[/mathjax] pro kladné a,b,c
je homogení a tedy mužeme říct a+b+c=1
a definujeme si koeficienty [mathjax]\lambda_{1} =a,
\lambda _{2}=b, \lambda _{3}=c, a+b+c=1[/mathjax] dostaneme
[mathjax]\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\ge a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}[/mathjax] a tedy stačí dokázat
[mathjax]\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\le \sqrt{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}[/mathjax] kde a+b+c=1 a,b,c jsou kladné.
todle se mi nepodařilo dokázat a je možné že je to celé špatně a tak prosím o radu jak todle řešit.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Pozitron)
#2 09. 11. 2021 14:25
Re: Jensenova nerovnost
↑ Pozitron:
Ahoj, zkus vzit koeficienty [mathjax] \displaystyle{\lambda_i=\frac{1}{3}}[/mathjax] a [mathjax] f(x)=\sqrt{x}[/mathjax].
Offline
#3 09. 11. 2021 22:56
- nejsem_tonda
- Příspěvky: 649
- Reputace: 54
Re: Jensenova nerovnost
todle se mi nepodařilo dokázat a je možné že je to celé špatně a tak prosím o radu jak todle řešit
Neni to cele spatne, tva nova nerovnost [mathjax]\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\le \sqrt{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}[/mathjax] za podminky [mathjax]a+b+c=1[/mathjax] taky plati. Nicmene dost si to komplikujes - staci to, co pise laszky.
Offline