Matematické Fórum

↑ honzik007:

Binomická věta udává, kolik je (A+B)^n
Je to suma (k=0 až n) (n nad k) * A^(n-k) * B^k

Když B vyberu kx, musím A vybrat (n-k)x to mohu n nad k způsoby

Platí totiž:  n nad (n-k) = n nad k

↑ honzik007:

(A+B)^4= A^4 + 4*A^3 *B + 6*A^2 *B^2 + 4*A*B^3 + B^4

(A+B)^3= A^3 + 3*A^2 *B + 3*A *B^2 + B^3

↑ honzik007:

Binom znamená dvojčlen, věta se týká umocňování dvojčlenu.

Ze základky znáš

[mathjax]\quad(a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/mathjax]

Podobně

[mathjax]\quad(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/mathjax]

Binomická věta říká, jak se oba členy mezi sebou násobí a jaké jsou u nich koeficienty. Obecně:

[mathjax]\quad\displaystyle(a+b)^n={n \choose 0}a^n+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+{n \choose 3}a^{n-3}b^3+ ... {n \choose n}b^n[/mathjax]

Pro [mathjax]n=2[/mathjax]:

[mathjax]\quad\displaystyle(a+b)^2={2 \choose 0}a^2+{2 \choose 1}a^{(2-1)}b+{2 \choose 2}a^{(2-2)}b^2=a^2+2ab+b^2[/mathjax]

Pro [mathjax]n=3[/mathjax]:

[mathjax]\quad\displaystyle(a+b)^3={3 \choose 0}a^3+{3 \choose 1}a^2 b+{3 \choose 2}ab^2+{3 \choose 3}b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/mathjax]

Mocniny u jednoho členu se snižují od [mathjax]n[/mathjax] do 0, naopak u druhého se zvyšují od 0 do [mathjax]n[/mathjax].

Čísla u jednotlivých členů (u 2. mocniny 1-2-1, u třetí mocniny 1-3-3-1), se jmenují binomické koeficienty.
Dají se snadno odvodit pomocí Pascalova trojúhelníku - viz obr., kde každé číslo je součtem dvou čísel nad ním.



Obvykle se ale počítají jako kombinační čísla.