Matematické Fórum

tjakub · 28. 11. 2007 19:33

Ahoj,

nevíte někdo, jak vyřešit tento příklad co nejrychleji???

Vím, že lze vyřešit pomocí binomické věty, ale je to příliš dlouhé, potřeboval bych co možná nejrychlejší výpočet pro tento příklad. Nemáte tu někdo nějaké "eso" v rukávu???

Výsledek: 0

Díky moc

jelena · 28. 11. 2007 22:41 — Editoval jelena (28. 11. 2007 23:07)

http://cs.wikipedia.org/wiki/Komplexn%C … D%C3%ADslo
regulerne se to da resit pres Moivreovou vetu.

Ale z rukavu? - asi toto:

((1+i)^2)^15

Snad pomuze :-)

Pro tjakub: dekuji, taky jsem mela radost, kdyz to secvaklo :-)

tjakub · 28. 11. 2007 22:44 — Editoval tjakub (28. 11. 2007 22:56)

Díky, juknu na to... Ale to eso, které si vytáhla z rukávu je fakt COOL!!! Tak prosté a vůbec mě nenapadlo...

Ivana · 29. 11. 2007 06:35

To je skutečně OK nápad.........a jak se bude postupovat dál? Já bych to řešila podle vzorce :
$(a ^2 +2ab + b^2 )$ $^15$

pak každý člen umocnila na 15.

Marian · 29. 11. 2007 08:56 — Editoval Marian (29. 11. 2007 09:51)

Podle binomicke vety lze napsat

$(1+{\mathrm i})^{30}=\sum_{j=0}^{30}{30\choose j}1^{30-j}\cdot{\mathrm i}^{j}=\sum_{j=0}^{30}{30\choose j}{\mathrm i}^{j}.$

Mam-li spocitat realnou cast cisla, jez se da vyjadrit jak je vyse uvedeno (tedy pomoci binomickeho rozvoje), vemu pouze takove indexy $j$ v binomickem rozvoji, pro ktere cislo ${\mathrm i}^j$ je realne. To je pouze pro j=0,2,4,6,...,28,30. Pro j=0,4,8,...,,20,24,28 (nasobky ctyr) je znamo ale, ze pro tyto exponenty $j$ plati ${\mathrm i}^j=1$ . Pro j=2,6,10,...,22,26,30 pak z podobnych duvodu plati, ze ${\mathrm i}^j=-1$ . Proto pro realnou cast cisla (1+i)^{30} mame

$\Re (1+{\mathrm i})^{30}={30\choose 0}+{30\choose 4}+\cdots +{30\choose 24}+{30\choose 28}-\left ({30\choose 2}+{30\choose 6}+\cdots +{30\choose 26}+{30\choose 30}\right ).$

Toto se jiz da snadno upravit. Vyuyije se toho ze plati

${30\choose 0}={30\choose 30},\quad{30\choose 4}={30\choose 26},\quad\cdots$ .

Jinymi slovy receno, soucty obou zavorek jsou si rovny. Proto

$\Re (1+{\mathrm i})^{30}=0$ .

===================================

Chteljsem zde prezentovat jeden z moznych pristupu k tomuto problemu. Velice vyhodne postupovala jelena. Totiz cislo

$(1+{\mathrm i})^2$ je po uprave ryze imaginarni (s celociselnymi koeficienty). Protoze ale

$(1+\mathrm{i})^{30}=\left ((1+\mathrm{i})^2\right )^{15}$ ,

umocnujeme na patnactou v podstate ryze imaginarni cislo. Vyuzivaje dale toho, ze $15\equiv 3 (\mathrm{mod}\, 4)$ , musi mit vysledek tvar $-n\cdot\mathrm{i},\quad n\in\mathbb{N}$ . Odtud snad elegantneji a snedneji tentyz vysledek jako vyse, tedy $\Re (1+\mathrm{i})^{30}=0$ .

jelena · 29. 11. 2007 12:36

Pro Mariana: zdravim a moc dekuji za hodnoceni :-)

Jeste reknu, ze jsem zacala uvazovat prave pres binomicky rozvoj a jak se tam bude tocit i, 1, -1 a symetricke chovani koeficientu, ale mela jsem pochyby o tom, zda se z toho elegantne vymotam a najednou to preskocilo na ten vzorec :-)

romule · 20. 06. 2009 10:22

Ahoj, mám problém, potřebuju spočítat binomickou větu, ta snad není složitá, ale potom je problém s odmocninami v ní, jak na to jednoduše?? Příklad je odmocnina ze dvou plus odmocnina ze tří, to celé na pátou???Děkuji

halogan · 20. 06. 2009 11:02

Přepsat si odmocninu na mocninu.

romule · 20. 06. 2009 11:16

nezlob se, ale to potřebuju trochu vysvětlit, je vidět, že tomu rozumíš a asi ti to připadá blbý, že se hloupě ptám, viď???

Kondr · 20. 06. 2009 11:26 — Editoval Kondr (20. 06. 2009 11:28)

Zbinomické věty
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^5=\sqrt{2}^5+5\sqrt{2}^4\sqrt{3}+10\sqrt{2}^3\sqrt{3}^2+10\sqrt{2}^2\sqrt{3}^3+5\sqrt{2}\sqrt{3}^4+\sqrt{3}^5$
a pak je potřeba využít toho, že $\sqrt{2}^2=2$ , $\sqrt{2}^4=4$ , $\sqrt{3}^2=3$ a $\sqrt{3}^4=9$ , takže se můžeme některých odmocnin zbavit
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^5=4\sqrt{2}+20\sqrt{3}+60\sqrt{2}+60\sqrt{3}+45\sqrt{2}+9\sqrt{3}=109\sqrt{2}+89\sqrt{3}$

Shodnu se na tom i s Wolframem.

romule · 20. 06. 2009 11:43

↑ Kondr:dík, ale podle knížky jsou výsledky ..1, 0,5*(-1-j odmocnina ze 3), další 0,5*(-1+jodmocnina ze 3), další -j, 0,5*(odmocnina zatří + j) atd...nevím, jak se dohrabat k tomuhle výsledku???

Džakob · 20. 06. 2009 14:14

Ahoj, u přijímaček jsem narazil na úlohu: Obecnou rovnici přímky, která prochází středem kružnice
S=(-2;1) a je kolmá na vektor (3,1), lze napsat ve tvaru:
já dal x-3y+5=0, ale jako správnou berou: 3x+y+5=0
Nejde mi ani tak o samotné řešení úlohy, jako o fakt, že není uvedeno o jaký vektor se jedná (směrový/normálový). Já bral vektor (3,1) jako normálový, směrový vektor kolmice je tedy (3,1) a z něj normálový (1,-3). Oni to berou jednodušeji, a to vektor (3,1) jako směrový, to jest kolmý normálový bude konstantní a poté vychází jejich výsledek správně. Je opravdu důležité definovat, o jaký vektor se jedná nebo je to vždy směrový? Tato úloha mi svým zadáním přijde diskutabilní. Poradí někdo?
Díky

Kondr · 20. 06. 2009 15:20

↑ Džakob:Založ si prosím novvé téma (viz pravidla).

↑ romule:Jaké "j"? Výsledku podle knížky nerozumím.

jelena · 21. 06. 2009 15:10

↑ romule:

Zdravím,

zadání $(\sqrt{2}+\sqrt{3}\mathrm i)^5$ tak?

zkus, prosím, zapsat své zadání pořádně - bez komentáře, ale přesně tak, jak je v knižce. Pokud nejde zapsat "matematicky", tak stačí slovně, ale pořádně.

Pokud je to běžná učebnice, stačí i název učebnice a číslo zadání.

Děkuji.

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2007 19:33

Binomická věta - příliš dlouhá

#2 28. 11. 2007 22:41 — Editoval jelena (28. 11. 2007 23:07)

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#3 28. 11. 2007 22:44 — Editoval tjakub (28. 11. 2007 22:56)

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#4 29. 11. 2007 06:35

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#5 29. 11. 2007 08:56 — Editoval Marian (29. 11. 2007 09:51)

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#6 29. 11. 2007 12:36

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#7 20. 06. 2009 10:22

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#8 20. 06. 2009 11:02

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#9 20. 06. 2009 11:16

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#10 20. 06. 2009 11:26 — Editoval Kondr (20. 06. 2009 11:28)

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#11 20. 06. 2009 11:43

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#12 20. 06. 2009 14:14

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#13 20. 06. 2009 15:20

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

#14 21. 06. 2009 15:10

Re: Binomická věta - příliš dlouhá

Zápatí