Matematické Fórum

↑ Pomeranc:

Ahoj, mne prijde, ze je to primo ta  Gagliardio-Nirenberg nerovnost z wiki.

[mathjax] {\displaystyle  \|D^ju\|_{L^p(R^n)}\leq C\|D^mu\|^{\alpha}_{L^r(R^n)}\|u\|^{1-\alpha}_{L^q(R^n)} }, [/mathjax]

ktera plati pro [mathjax] {\displaystyle \frac{1}{p} = \frac{j}{n} + \left(\frac{1}{r}-\frac{m}{n}\right)\alpha + \frac{1-\alpha}{q} } [/mathjax]

V tvem pripade je [mathjax] j=0,\ p=4,\ n=3,\ m=1,\ \alpha=\frac{3}{4},\ r=q=2. [/mathjax]

↑ Pomeranc:
Holderova nerovnost dava:
[mathjax]\int|u|^4=\int|u|^3|u|\leq\lVert |u^3|\rVert_2\lVert u\rVert_2=\lVert u\rVert_6^3\lVert u\rVert_2[/mathjax],
takze
[mathjax]\lVert u\rVert_4\leq\lVert u\rVert_6^{\frac34}\lVert u\rVert_2^{\frac14}[/mathjax],
coz je ta zminena interpolace mezi [mathjax]L^2[/mathjax] a [mathjax]L^6[/mathjax]. Jinymi slovy [mathjax]L^4=(L^2,L^6)_{\frac34}[/mathjax].
Ted staci pouzit vnoreni [mathjax]W^{1,2}\rightharpoonup L^6[/mathjax] (ve 3D), tj.
[mathjax]\lVert u\rVert_6\leq C\lVert \nabla u\rVert|_2+\lVert u\rVert_1[/mathjax].

Btw, tahle nerovnost se jmenuje po O. Ladyzhenskaye a da se na par radcich dokazat hezky primo, viz prvni stranky jeji knihy.

↑ Pomeranc:
To vnoreni je prece ten Gagliardo-Nirenberg: [mathjax]2^*=\frac{3\cdot2}{3-2}=6[/mathjax].

Nerovnost [mathjax]\lVert u\rVert_6\leq C\lVert \nabla u\rVert_2+\lVert u\rVert_1[/mathjax][mathjax]\lVert u\rVert_6\leq C\lVert \nabla u\rVert_2+\lVert u\rVert_1[/mathjax] plati obecne na libovolnych mnozinach. Protoze ale v tvem pripade plati [mathjax]W^{1,2}(\mathbb{R}^n)=W^{1,2}_0(\mathbb{R}^n)[/mathjax], tj. hladke funkce s kompaktnim nosicem jsou huste v [mathjax]W^{1,2}(\mathbb{R}^n)[/mathjax] (diky tomu, ze integrovatelne funkce na neomezenych mnozinach musi dostatecne rychle konvergovat k nule), muzes clen [mathjax]\lVert u\rVert_1[/mathjax] vynechat.