Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 24. 11. 2021 10:07
Zjednodušení nerovnice
Zdravím, narazil jsem na příklad se kterým si nevím rady.
Máme zadanou nerovnici [mathjax]\frac{n}{2} \leq \frac{N^{m+1} - 1}{N - 1}[/mathjax]. Tuto nerovnici by mělo být možné zjednodušit, a to do tvaru [mathjax]n \leq 2N^{2m}[/mathjax]. Není mi vůbec jasné, jakým způsobem bych měl začit tuto úlohu řešit, zkoušel jsem se i dostat od druhé nerovnice k té první, ale ke správnému výsledku jsem se nedostal. Zkoušel jsem operovat s tím že [mathjax]\frac{N^{m+1} - 1}{N - 1}[/mathjax] by se mělo rovnat [mathjax]1 + N + N^{2} + ... + N^{m}[/mathjax], ale s řešením úlohy mi to nepomohlo.
Ještě bych dodal, že [mathjax]n[/mathjax], [mathjax]m[/mathjax] a [mathjax]N[/mathjax] by měly být přirozená čísla. Předem děkuji za rady.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Jarmil77)
#3 24. 11. 2021 11:10
Re: Zjednodušení nerovnice
↑ osman:
Ahoj, tak pokud je [mathjax] N\geq2 [/mathjax], potom je [mathjax] N-1\geq1 [/mathjax] a proto [mathjax] \frac{1}{N-1} \leq 1[/mathjax]. Nasledne
[mathjax] {\displaystyle n = 2 \cdot \frac{n}{2} \leq 2\cdot \frac{N^{m+1}-1}{N-1} \leq 2\cdot (N^{m+1}-1) \leq 2\cdot N^{m+1} \leq 2\cdot N^{2m} } [/mathjax]
Offline
#4 24. 11. 2021 11:49
Re: Zjednodušení nerovnice
↑ laszky:
Díky za odpověď, chtěl bych se ještě doptat na ty poslední části. Pokud bych to rozepsal:
[mathjax]\frac{n}{2} \leq \frac{N^{m+1} - 1}{N - 1}[/mathjax]
[mathjax]n \leq 2 \times (\frac{N^{m+1} - 1}{N - 1})[/mathjax]
[mathjax]n \leq 2 \times (N^{m+1} - 1)[/mathjax]
Není mi úplně jasné, proč platí [mathjax]2 \times (N^{m+1} - 1) = 2 \times N^{m+1}[/mathjax]. Kam zmizí ta [mathjax](-1)[/mathjax], kterou vynásobením [mathjax]2[/mathjax] změníme na [mathjax](-2)[/mathjax]? A ještě úplně na konci, proč platí [mathjax]2 \times N^{m+1} = 2 \times N^{2m}[/mathjax]? Asi se na ty nerovnice dívám nějak špatně, není mi ale jasné jakým způsobem jsou ty úpravy prováděny.
Offline
#5 24. 11. 2021 12:25 — Editoval laszky (24. 11. 2021 12:26)
#8 24. 11. 2021 17:42
- check_drummer
- Příspěvky: 5559
- Reputace: 106
Re: Zjednodušení nerovnice
↑ osman:
Ahoj, taky si pod pojmem "zjednodušení nerovnice" představuju ekvivalentní úpravu...
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#9 24. 11. 2021 17:56
Re: Zjednodušení nerovnice
Jenom bych dodal že téma průběžně sleduju, nedokážu teď odhadnout jestli mi bude takové řešení přijato, takže i když jsem už téma označil za vyřešené, pokud by někoho napadlo řešení pomocí ekvivalentních úprav tak jej možná použiju. Z toho prvního řešení jsem to pochopil tak, že řešení pomocí ekvivalentních úprav možné není a že stačí dokázat že platí ty nerovnosti.
Offline
#10 25. 11. 2021 00:14
- check_drummer
- Příspěvky: 5559
- Reputace: 106
Re: Zjednodušení nerovnice
↑ Jarmil77:
Vzhledem k tomu, že ta úprava je neekvivaletní, tak ekvivalentní úprava neexistuje.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline