Matematické Fórum

Zase jeden hnusný příklad...

Integrál: [mathjax]\int_{0}^{1}\frac{x.ln(x)}{1-x}dx[/mathjax]

Můj chabý pokus o řešení:

(1 / 1-x) je vlastně nekonečná geometrická řada [mathjax]\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty }x^{n-1}[/mathjax]

po vynásobení zbytkem integrandu: [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }x^{n-1}.x.ln(x)=\sum_{n=1}^{\infty } x^n.ln(x)[/mathjax]

Teď bych nejprve počítal mechanicky bez ověření podmínky pro povolení záměny řady a integrálu:

"Vystrčím" řadu před integrál a integruju [mathjax]\int_{0}^{1}x^n.ln(x)dx[/mathjax]

Řeším per partes,

[mathjax]x^{n}\Rightarrow x^{n+1}/n+1[/mathjax]
[mathjax]ln(x) \Rightarrow \frac{1}{x}[/mathjax]


[mathjax]\int_{0}^{1}x^{n}ln(x)dx=[\frac{x^{n+1}}{n+1}ln(x)]^{1}_{0}-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{x}dx[/mathjax]

První člen dává nulu, druhý integrál upravuji na

[mathjax]\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{x}dx =\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n}dx=\frac{1}{(n+1)^{2}}[x^{n+1}]^{1}_{0}=\frac{1}{(n+1)^{2}}[/mathjax]

Celkem by se tak integrál  [mathjax]\int_{0}^{1}\frac{x.ln(x)}{1-x}dx[/mathjax]

měl rovnat řadě [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)^{2}}[/mathjax]

která se pravděpodobně má rovnat nějakému číslu, ale nevím, k jakému, nicméně bych neměl mít vyřešení takto "nedodělané".


A teď přemýšlím nad důkazem oprávněnosti záměny řady a integrálu.

Napadá mě Leviho věta pro řady, resp. jedna z jejích verzí,

Nechť [mathjax]v_{n}[/mathjax], [mathjax]n\in \mathbb{N}[/mathjax], jsou měřitelné a skoro všude nezáporné na M, [mathjax]v=\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}[/mathjax] skoro všude na M. Potom [mathjax]v\in L^{*}(M)[/mathjax], "v" je nezáporná lebesgueovsky integrovatelná funkce, a platí
[mathjax]\int_{M}^{}v\text{   }d\mu =\sum_{n=1}^{\infty }\int_{M}^{}v_{n}\text{   }d\mu [/mathjax]
Existuje-li navíc [mathjax]K\in \mathbb{R}[/mathjax] tak, že pro každé [mathjax]j\in \mathbb{N}[/mathjax] je
[mathjax]\sum_{n=1}^{j}\int_{M}^{}v_{n}\text{   }d\mu\le K[/mathjax],
pak je [mathjax]v\in L(M)[/mathjax]
a řada [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}(x)[/mathjax] má konečný součet pro skoro všechna [mathjax]x\in M[/mathjax].


Podle mě to ale "havaruje" na tom, že mezi 0 a 1 je logaritmus záporný a n-tá mocnina jde k jedné, nemám tedy nezápornou funkci a předpoklad věty neplatí.

Stejné je to u jiné, méně korektní verze Leviho věty pro řady -
[mathjax]\forall f_{n}\ge 0\text{   }\exists M:\forall N:\sum_{n=1}^{N}f_{n}\le M\in \mathbb{R}[/mathjax], pak lze zaměnit pořadí řady a integrace,
opět to havaruje na tom, že mám zápornou (nekladnou) funkci.


Dokáže někdo poradit, co s tím, hlavně s tím zdůvodněním záměny řady a integrálu?

Předem díky!