Matematické Fórum

Tak tady nevím, kde je zakopaný pes...

Zadání: Výpočet objemu, těleso omezené:
[mathjax]z=0,z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}=x,x^{2}+y^{2}=2x[/mathjax]

Zobecněné válcové souřadnice:
[mathjax]x=r.cos\varphi ,y=r.sin\varphi ,z=z,Jac=r[/mathjax]

[mathjax]x^{2}+y^{2}=x...r^{2}=r.cos\varphi ,r=cos\varphi [/mathjax]
[mathjax]x^{2}+y^{2}=2x...r^{2}=r.cos2\varphi ,r=cos2\varphi [/mathjax]

[mathjax]0<z<r^{2},cos\varphi <r<cos2\varphi ,-\frac{\pi }{2}<\varphi <\frac{\pi }{2}[/mathjax]

[mathjax]V=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}\int_{cos\varphi }^{2cos\varphi }\int_{0}^{r^{2}}1dz.r.drd\varphi [/mathjax]

[mathjax]V=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}[\frac{r^{4}}{4}]^{cos2\varphi }_{cos\varphi }=\frac{1}{4}\int_{-\pi /2}^{\pi /2}[cos^{4}2\varphi -cos^{4}\varphi ]d\varphi [/mathjax]

Pomocí goniometrického vzorečku [mathjax]cos^{2}\varphi =\frac{1}{2}(1+cos(2\varphi ))[/mathjax]

postupně dostávám

[mathjax]\int_{}^{}cos^{4}2\varphi d\varphi =\frac{3}{8}\varphi +\frac{1}{8}sin4\varphi +\frac{1}{64}sin8\varphi [/mathjax]
a
[mathjax]\int_{}^{}cos^{4}\varphi d\varphi =\frac{3}{8}\varphi +\frac{1}{4}sin2\varphi +\frac{1}{32}sin4\varphi [/mathjax]

A jsem v koncích, protože v tom rozdílu se mi odečte [mathjax]\frac{3}{8}\varphi [/mathjax] a siny se vynulují,
po odečtení tedy dostávám rozdíl nulu.


Výsledek má vyjít: [mathjax]\frac{45}{32}\pi [/mathjax]

Dokáže někdo poradit, jak by se s použitím výše uvedeného dal integrál spočítat, aby se došlo k výsledku (ten je 100% správně)?

Předem díky!