Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 12. 2021 15:36 — Editoval git55 (12. 12. 2021 15:41)

git55
Zelenáč
Příspěvky: 2
Škola: Fsv ČVUT
Pozice: student
Reputace:   
 

Křivkový integrál

Zdravím,
Mám zadanou Archimedovu křivku:

[mathjax]K:X(t) = [\cos t+ t\sin t , \sin t-t\cos t] , t\in \langle0,2\pi \rangle,\sigma =y[/mathjax]

zjistil jsem že:

[mathjax]x(t) = \cos  t + t\sin t[/mathjax]
[mathjax]y(t) = \sin t + t\cos [/mathjax]

[mathjax]dx = t\cos t[/mathjax]
[mathjax]dy = t\sin t[/mathjax]

[mathjax]ds = t[/mathjax]

a když dosadím do vzorce výpočtu hmotnosti
[mathjax]m=\int_{c}\sigma (x,y)ds^{}[/mathjax]

tedy:
[mathjax]m=\int_{0}^{2\pi } (\sin t-t\cos t)t  dt[/mathjax]

Vychází mi záporná hmotnost, což mi přijde jako nesmysl.
Předem děkuji za jakoukoliv pomoc.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) git55)

#2 12. 12. 2021 16:24

Jj
Příspěvky: 8632
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   589 
 

Re: Křivkový integrál

↑ git55:

Hezký den.

Řekl bych, že za podmínky [mathjax]\sigma =y[/mathjax] to tak nějak vyjde. Nebyla v zadání jiná, např. nějaká závislost [mathjax]\sigma[/mathjax] na s?


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#3 12. 12. 2021 17:21

git55
Zelenáč
Příspěvky: 2
Škola: Fsv ČVUT
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Křivkový integrál

hustota je všude konstantní.
Výsledek je tedy
[mathjax]m = -6\pi [/mathjax]

a už jsem si téměř jistý, že je správně.

Offline

 

#4 12. 12. 2021 18:10

Jj
Příspěvky: 8632
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   589 
 

Re: Křivkový integrál

↑ git55:

Možná něco přehlížím, ale při kontantním [mathjax]\sigma > 0[/mathjax] mi vychází

[mathjax]m=\int_{c}\sigma (x,y)ds =  \sigma \int_0^{2\pi} t dt = 2\pi^2 \sigma > 0[/mathjax].

Ale třeba se pletu.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#5 13. 12. 2021 16:20 — Editoval MichalAld (13. 12. 2021 16:22)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4173
Reputace:   111 
 

Re: Křivkový integrál

git55 napsal(a):

Zdravím,
Mám zadanou Archimedovu křivku:

[mathjax]K:X(t) = [\cos t+ t\sin t , \sin t-t\cos t] , t\in \langle0,2\pi \rangle,\sigma =y[/mathjax]

zjistil jsem že:

[mathjax]x(t) = \cos  t + t\sin t[/mathjax]
[mathjax]y(t) = \sin t + t\cos [/mathjax]

Nemůže být problém i tady, s těmi znaménky?

Offline

 

#6 13. 12. 2021 20:15

Jj
Příspěvky: 8632
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   589 
 

Re: Křivkový integrál

↑ MichalAld:

Myslím, že ne. Uvažoval jsem, že jde jen o překlep, protože dále tazatel pokračoval se správným znaménkem.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#7 13. 12. 2021 23:12 — Editoval MichalAld (13. 12. 2021 23:12)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4173
Reputace:   111 
 

Re: Křivkový integrál

↑ Jj:

Jo, je to přesně jak říkáš ty, že [mathjax]\sigma(\cos t + t \sin t, \sin t - t \cos t)[/mathjax] není [mathjax](\sin t - t \cos t)[/mathjax] ale prostě jen [mathjax]\sigma[/mathjax], tj. konstanta.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson