Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 15. 12. 2021 12:04
3. keplerov zákon
Dobrý deň. Newton na základe Keplerových výpočtov zostrojil rovnicu [mathjax]\frac{a^{3}}{T^{2}}\approx \frac{GM}{4\pi ^{2}}\approx \frac{1^{3}}{365,25^{2}} [/mathjax], M by mala byť hmonosť Slnka, ale keď z tejto rovnice odvodím výpočet pre M tak na exceli tak mi vychádza šíslo 4433920,27 čo ani zdaleka nie je násobok hmotnosti zeme. Mohli by ste mi to vysvetliť, kde robím chybu. ďakujem za odpoveď
Offline
#2 15. 12. 2021 12:13
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: 3. keplerov zákon
Zdravím,
veličiny musí být v základních jednotkách (metr, sekunda), pak to vyjde.
Offline
#3 15. 12. 2021 13:51
Re: 3. keplerov zákon
dakujem za odpoceď. ja som zadal jednotky v gravitačnej konštante meter sekunda a pre čas sa používa pozemský deň a pre a sa používa astronomická jednotka. celé som opisoval z anglickej wiki vzorec pre odvodenie je [mathjax]\frac{GM}{4\pi ^{2}}=\frac{a^{3}}{T^{2}}\Rightarrow M=4\pi ^{2}\frac{a^{3}}{GT^{2}}[/mathjax]
Offline
#4 15. 12. 2021 15:29 — Editoval Mirek2 (15. 12. 2021 15:31)
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: 3. keplerov zákon
Astronomická jednotka a rok (nebo dny) se používají, když porovnáváme oběžné doby nebo poloosy
dvou planet (jednotky v poměru mohou být libovolné, "zkrátí se").
[mathjax]\displaystyle\frac{a_1^3}{T_1^2}=\frac{a_2^3}{T_2^2}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{T_1^2}{T_2^2}[/mathjax]
Jinak je potřeba použít základní jednotky (m, s).
Offline
#6 15. 12. 2021 23:16
Re: 3. keplerov zákon
Ďakujem za vysvetlenie, ešte sa chcem opýtať na jednú vec v rovnici [mathjax]\frac{GM}{4\pi ^{2}}\approx \frac{1^{3}}{365,25^{2}}[/mathjax] čomu sa rovná násobok GM. v akých jednotkách sú udávané hodnoty
Offline
#7 16. 12. 2021 13:41
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: 3. keplerov zákon
↑ marostul:
Záleží na tom, v jakých jednotkách jsou [mathjax]a,T[/mathjax]. Jednotku určíme ze vzorce
[mathjax]\displaystyle GM=4\pi^2\frac{a^3}{T^2}[/mathjax]
tedy obvyklá jednotka je [mathjax]\displaystyle \frac{{\rm m}^3}{{\rm s}^2}[/mathjax]
a když dosadíme astronomickou jednotku a den, bude jednotka [mathjax]\displaystyle \frac{{\rm AU}^3}{{\rm d}^2}[/mathjax]
Offline
#10 16. 12. 2021 19:27
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: 3. keplerov zákon
↑ marostul:
Teď tomu moc nerozumím, hmotnost by měla být v kilogramech.
Chceme-li pomocí 3. Keplerova zákona vypočítat hmotnost Slunce z parametrů oběžné dráhy Země, vezmeme
[mathjax]a=1\,{\rm AU} \doteq 150\cdot 10^6\,{\rm km} = 150\cdot 10^9\,{\rm m}[/mathjax]
[mathjax]T=1\,{\rm rok} \doteq 31.6\cdot10^6\,{\rm s} [/mathjax]
[mathjax]G\doteq 6.674 \cdot 10^{-11}\,{\rm N}\,{\rm m}^2\,{\rm kg}^{-2} [/mathjax]
a vypočítáme hmotnost Slunce v kilogramech
[mathjax]\displaystyle M=\frac{4\pi ^{2}a^{3}}{GT^{2}}[/mathjax]
Offline
#11 16. 12. 2021 20:59
Re: 3. keplerov zákon
ďakujem za odpoveď. podľa toho vlstne Newton navrhol výpočet hmotnosti. vo vzorci [mathjax]\frac{a^{3}}{T^{2}}\approx \frac{GM}{4\pi ^{2}}\approx (\frac{1AU^{3}}{365,25d^{2}}) [/mathjax] v podstate je iba vzorec pre výpočet. hodnota GM môžeme určiť iba z prepočtu meraných hodnôt. násobog GM v jedotkách je v podstate [mathjax]GM=\frac{AU^{3}}{mT^{2}}M=\frac{AU^{3}}{d^{2}}[/mathjax] hmotnosti m a M sa vykrátia
Offline
#12 17. 12. 2021 17:09
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: 3. keplerov zákon
3. Keplerův zákon v přesnějším tvaru zahrnuje hmotnost Slunce i planety, které se sčítají:
https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27 … ary_motion
Offline