Matematické Fórum

↑ Eratosthenes:

zadáním do wolfram alpha
cubic fit  {-1, -5}, {0,1}, {1,3}, {3,19}

a potom
y= x^3-2x^2+3x+1; x=8

dostanu výsledek pro y 409

Zkusil bych Lagrangeův interpolační polynom 3. stupně.
Existuje jednoduchý návod, jak ho sestrojit.
Lze také řešit soustavu lineárních rovnic, což může být pracné.

Ta úloha má ovšem nekonečně mnoho řešení.

Taky dobrá funkce je tahle:

[mathjax]y=-5 \frac{\sin\pi (x + 1)}{\pi (x + 1)} + \frac{\sin\pi (x-0)}{\pi (x-0)} + 3 \frac{\sin\pi (x - 1)}{\pi (x - 1)} +19 \frac{\sin\pi (x - 3)}{\pi (x - 3)}[/mathjax]


Možná se nad tím někdo pousměje, ale pokud by to měly být změřené hodnoty nějakého signálu v čase t, je tohle určitě mnohem lepší funkce než nějaký polynom ... protože pro velká t to půjde k nule, zatímco polynom jde vždy k nekonečnu ... což věci v tomto světě zpravidla nedělají. A v zadání není řečeno, že má jít o interpolaci...

↑ Richard Tuček:

Lagrangeův interpolační polynom to je právě ten cubic fit ve wolframu :-)

laszky napsal(a):

↑ MichalAld:

To je pekny,  chytre vymysleny ;-)  A je to taky interpolace, ne?

To jsem ale nevymyslel já, je to z teorie signálů, něco ohledně digitalizace, ale detaily už teď přesně nevím. Myslím, že pokud má ta funkce omezené spektrum (splňuje Shannonovu podmínku) tak tímhle způsobem se získá z "digitalizované (navzorkované)" funkce ta původní.

Jestli interpolace nebo extrapolace, to já vlastně nevím. V obou případech to mlčky předpokládá, že ostatní členy řady jsou nulové, né že neexistují - takže tam vlastně tu extrapolaci vnášíme ještě na úrovni té řady. Ono to nějak souvisí se spektrem, tedy z Fourierovou transformací, a ta potřebuje funkci v celém rozsahu,

laszky napsal(a):

MichalAld napsal(a):

polynom jde vždy k nekonečnu ...

Konstantni funkce je taky polynom :D

To je pravda ... taky je to jediný polynom, kterému trochu rozumím...


A kdyby bylo po mém, tak bych všechno aproximoval konstantou. Ale na VUTu nám vnutili používání "základní věty fyziky a techniky" - že všechny reálné problémy lze zjednodušit až na lineární dif. rovnici 2. řádu (což odpovídá polynomu 2. stupně). Ale všechno co je výš je pro mě naprostá záhada...

↑ laszky:

Tak jsem nakonec zavzpomínal odkud to pochází, a našel jsem to i na wiki:

Aliasing

Odvození speciálního případu Poissonovy sumace


Whittaker–Shannon interpolation formula