Matematické Fórum

Asi to bude plošný integrál prvního druhu, napadá mě :

[mathjax]\varphi :x=r.cos(t),y=r.sin(t), z=z=1-r^{3}[/mathjax]

[mathjax]t\in (0,2\pi ),r\in (0,1)[/mathjax]

[mathjax]\frac{\partial \varphi }{\partial r}=(cos(t), sin(t),-3r^{2})[/mathjax]
[mathjax]\frac{\partial \varphi }{\partial t}=(-r.sin(t),r.cos(t),0)[/mathjax]

[mathjax]\frac{\partial \varphi }{\partial r} \text{x} \frac{\partial \varphi }{\partial t}=(-3r^{3}cos(t),3r^{3}sin(t),r)[/mathjax]

[mathjax]||\frac{\partial \varphi }{\partial r} \text{x} \frac{\partial \varphi }{\partial t}||=\sqrt{9r^{6}cos^{2}(t)+9r^{6}sin^{2}(t)+r^{2}}=\sqrt{9r^{6}+r^{2}}=r\sqrt{1+(3r^{2})^{2}}[/mathjax]

[mathjax]\int_{}^{}1dS=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}1.r.\sqrt{1+(3r^{2})^{2}}drdt[/mathjax]

[mathjax]u=3r^{2},du=6rdr,3.0=0,3.1=3[/mathjax]

[mathjax]I=\frac{2\pi }{6}\int_{0}^{3}\sqrt{1+u^{2}}du[/mathjax]

[mathjax]\int_{}^{}\sqrt{1+u^{2}}=\frac{u}{2}\sqrt{1+u^{2}}+\frac{1}{2}ln (u+\sqrt{1+u^{2}})[/mathjax]

[mathjax] \frac{\pi }{3}\int_{0}^{3}\sqrt{1+u^{2}}=\frac{\pi }{2}\sqrt{10}+\frac{\pi }{6}ln (3+\sqrt{10})=\frac{\pi }{6}(3\sqrt{10}+ln(3+\sqrt{10}))[/mathjax]

[mathjax]\frac{\pi }{3}\int_{0}^{3}\sqrt{1+u^{2}}=\frac{\pi }{2}\sqrt{10}+\frac{\pi }{6}ln (3+\sqrt{10})=\frac{\pi }{6}(3\sqrt{10}+ln(3+\sqrt{10})) [/mathjax]


Ale je to jen první nástřel, asi tam budou chyby.

↑ Jj:

Též hezký den,

máte pravdu, opravdu tam má být [mathjax]+3r^{2}cos(t)[/mathjax]

Moc Vám děkuji!

↑ 2M70:

Zřejmě by šlo využít toho, že se jedná o rotační plochu s osou rotace v ose z:

Odkaz

Ale neřekl bych, že integrace podle vzorečku pro výpočet povrchu rotační plochy bude v tomto případě nějak zvlášť jednoduchá (povede to k binomickému integrálu).

↑ 2M70:

To už si můžete jednoduše zkontrolovat on-line, např.

Odkaz

↑ 2M70:

Má-li jít o primitivní funkci, tak ta musí obsahovat integrační konstantu. Podle mě by tento postup měl být uznán. Ovšem na mém názoru až tak nezáleží - jsem už přes 50 let po škole a nemusím vědět jaké jsou aktuální nároky na studenty.