Matematické Fórum

Mohla bych poprosit o trochu nakopnutí nebo nasměrování? Mám tady dvě úlohy ze statistické Inference a už na ně buď koukám moc dlouho nebo mi něco uniká. Díky.

1)
Pro $I=2$, která z testovacích statistik $Z_W$ nebo $Z_W^{(alt)}$ testu o rozdílu pravděpodobností $p_1$ a $p_2$ se rovná $U_W^{1/2}$?

$H_0:p_1-p_2=p_0$ vs. $H_1:p_1-p_2\ne p_0$. Realizace testové statistiky $Z_W$ je definována jako:


$z_W=\frac{\widehat{p_1}-\widehat{p_2}-p_0}{s_g};s_g^2=\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{N_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{N_2}\ne 0$


Rozptyl za platnosti nulové hypotézy je ve tvaru

$s_{g|H_0}^2=\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{N_1}+\frac{1}{N_2}),\text{kde}\hat{p}=\frac{N_1\widehat{p_1}+N_2\widehat{p_2}}{N_1+N_2}$


Pak

$z^{(alt{)}_W}=\frac{\widehat{p_1}-\widehat{p_2}-p_0}{s_{g|H_0}^2},s_{g|H_0}^2\ne 0$

2)
Ukažte, že $u_W=\frac{1}{\hat{p}(1-\hat{p})}(\sum _{i=1}^I{N}_i{\widehat{p_i}}^2-N{\hat{p}}^2)$, kde $N=\sum _{i=1}^I{N}_i$.