Matematické Fórum

Mohla bych poprosit o trochu nakopnutí nebo nasměrování? Mám tady dvě úlohy ze statistické Inference a už na ně buď koukám moc dlouho nebo mi něco uniká. Díky.

1)
Pro [mathjax]I=2[/mathjax], která z testovacích statistik [mathjax]Z_W[/mathjax] nebo [mathjax]Z^{(alt)}_W[/mathjax] testu o rozdílu pravděpodobností [mathjax]p_1[/mathjax] a [mathjax]p_2[/mathjax] se rovná [mathjax]U^{1/2}_W[/mathjax]?

[mathjax]H_0: p_1 - p_2 = p_0[/mathjax] vs. [mathjax]H_1: p_1 - p_2 \neq p_0[/mathjax]. Realizace testové statistiky [mathjax]Z_W[/mathjax] je definována jako:


[mathjax]z_W = \frac{\widehat{p_1} - \widehat{p_2} - p_0}{s_g}; s^2_g = \frac{\widehat{p_1}(1 - \widehat{p_1})}{N_1} + \frac{\widehat{p_2}(1 - \widehat{p_2})}{N_2} \neq 0[/mathjax]


Rozptyl za platnosti nulové hypotézy je ve tvaru

[mathjax] s^2_{g|H_0} = \widehat{p}(1 - \widehat{p})\left( \frac{1}{N_1} + \frac{1}{N_2}  \right), \text{kde} \widehat{p} = \frac{N_1\widehat{p_1} + N_2\widehat{p_2}}{N_1 + N_2} [/mathjax]


Pak

[mathjax] z^{(alt)_W} = \frac{\widehat{p_1} - \widehat{p_2} - p_0}{s^2_{g|H_0}}, s^2_{g|H_0} \neq 0 [/mathjax]

2)
Ukažte, že [mathjax]u_W = \frac{1}{\widehat{p}(1 - \widehat{p})} (\sum^I_{i = 1} N_i\widehat{p_i}^2 - N\widehat{p}^2)[/mathjax], kde [mathjax]N = \sum^I_{i = 1} N_i[/mathjax].