Matematické Fórum

Zdaleka to není jakýkoliv integrál. Za prvé je to integrál vektoru po uzavřené křivce (neboli cirkulace vektoru), a za druhé to neplatí pro každé vektorové pole, ale jen pro některá. Ale zrovna ta některá se dost často vyskytují.

Pokud ten vektor představuje sílu, tak pole s nulovou cirkulací (nulovým integrálem vektoru po uzavřené křivce) nazýváme konzervativní - protože se tam zachovává energie.

V plné obecnosti se tahle pole nazývají nevírová. Příkladem je gravitační pole, nebo elektrostatické pole. Naproti tomu existují i pole vírová - jako je třeba magnetické pole, a nebo také elektrické pole proměnné - el. mag. vlna.


Naproti tomu křivkový integrál skalární funkce není zdaleka tak zajímavý ... a pokud si křivku dokážeme vyjádřit parametricky, dostaneme úplně obyčejný integrál, který může vyjít jakkoliv. Speciálně pak integrál z konstantní (jednotkové) funkce dává délku té křivky.

Mnohem zajímavější je použití křivkového integrálu ve variačním počtu ... což je situace, kdy křivka není předem dána, naopak cílem je tu křivku najít, takovou, aby příslušný křivkový integrál nabýval třeba minimální hodnoty. Tak lze (dost složitým způsobem) třeba dokázat, že nejkratší spojnice dvou bodů je přímka, nebo třeba vyřešit o dost zajmavější úlohu o brachystochroně.