Matematické Fórum

Dobrý deň,priatelia.
Zamýšľam sa nad otázkou,na ktorú som nenašiel odpoveď v múdrych knihách.
Jedná sa o toto: Leibnizov vzorec pre n-tú deriváciu súčinu:
[mathjax](f(x)g(x))^{[n]} = \sum_{k=0}^{n}(n,k) f^{[n-k]}g^{[k]}[/mathjax]

ma analogický tvar ako Binomická veta pre n-tú mocnicu súčtu reálnych čísel:
[mathjax](a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}(n,k) a^{n-k}b^{k}[/mathjax]
,pokiaľ vykonám formálne  priradenie  symbolov  [mathjax][n] \Rightarrow  n[/mathjax]  , (n,k) je kombinačné číslo.
Uvažujem ešte Cauchyho súčin nekonečných radov:
[mathjax] [\sum_{i=0}^{\infty } a_{i} ]. [\sum_{j=0}^{\infty } b_{j} ] = \sum_{k=0}^{\infty } \sum_{l=0}^{k} a_{k-l}b_{l}[/mathjax]
Všimnime si že koeficienty u sumy sa správajú podobne ako v binomickej vete. Ale to nie je prekvapivé,jedná sa v istom zmysle o podobné vzorce,oba vyjadrujú  súčin súčtov  ako súčet súčinov,takže je pochopiteľné,že sa koeficienty správajú podobne. Lenže Leibnizov vzorec vyjadruje úplne inú operáciu, deriváciu súčinu (nie súčet) funkcií naľavo pomocou binomických koeficientov v tom istom tvare. Dokonca aj dôkazy sú úplne totožné,a navyše to platí aj pre multinomické varianty oboch vzorcov.
Moja otázka znie: existuje nejaká hlbšia spoločná podstata ? V matematike často platí,že ak mám dva vzorce,ktoré sú formálne analogické,tak existuje hlbšia teória pod nimi,kde platí,že oba vzorce sú iba odlišné reprezentácie toho istého faktu. Poincaré raz povedal,že matematika je umenie dávať rôznych veciam rovnaké mená.