Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 06. 01. 2022 18:04
- achanojsemblond
- Zelenáč
- Příspěvky: 8
- Škola: MFF UK
- Pozice: student
- Reputace: 0
Lineární nezávislost 3 a √3
Hezký den všem,
jak byste odůvodnili, zda je toto tvrzení pravdivé nebo nepravdivé:
Ve vektorovém prostoru R nad Q jsou vektory 3 a √3 lineárně nezávislé.
"Intuitivně" mě napadá, že √3 je násobkem 3, tedy její lineární kombinace, a tedy jsou lineárně závislé. Alternativně bych oba vektory umocnila na druhou a tam vidím, že 9 a 3 je lineárně závislé.
Netuším ale, jestli mířím správným směrem.
Děkuju za popostrčení.
Eliška
Offline
#2 06. 01. 2022 18:18
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ achanojsemblond:
Ahoj, vektory [mathjax]\vec{u},\vec{v}\in R[/mathjax] jsou linearne zavisle, jestlize existuji [mathjax]a,b\in Q[/mathjax] tak, ze [mathjax] a\vec{u}+b\vec{v}=0[/mathjax]. Zkus toto vyuzit.
Offline
#3 06. 01. 2022 18:43 — Editoval achanojsemblond (06. 01. 2022 18:51)
- achanojsemblond
- Zelenáč
- Příspěvky: 8
- Škola: MFF UK
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ laszky:
Ahoj, tuhle definici znám.
Napadá mě tedy: 1*3 + -√3*√3 = 0, což platí, pak jsou lineárně závislé.
Je to tak?
Jinak moc děkuju za rychlou odpověď!
Offline
#4 06. 01. 2022 19:11
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ achanojsemblond:Nie, precitaj si dokladne vsetko, co pise ↑ laszky:.
Offline
#5 06. 01. 2022 19:40
- achanojsemblond
- Zelenáč
- Příspěvky: 8
- Škola: MFF UK
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ vlado_bb: Už vidím, kde jsem udělala chybu. Děkuju.
Offline
#7 06. 01. 2022 22:50
- achanojsemblond
- Zelenáč
- Příspěvky: 8
- Škola: MFF UK
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ MichalAld:Q jsou racionální čísla a 0 se nedá zapsat jako zlomek, takže špatně.
Offline
#9 06. 01. 2022 22:55
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
Samozřejmě stačí doplnit, že ta čísla musejí být nenulová, a bude to asi vše OK.
My jsme definovali lineární nezávislost, když nelze najít číslo a takové, že [mathjax]a \vec{u}=\vec{v}[/mathjax]. Potom se ty věci s nulou nemusí řešit...
Offline
#10 06. 01. 2022 23:01
- achanojsemblond
- Zelenáč
- Příspěvky: 8
- Škola: MFF UK
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ MichalAld: Tak teď jsem trochu na pochybách, jestli ta nula nedělá neplechu.
Offline
#11 06. 01. 2022 23:02
#12 06. 01. 2022 23:08
- achanojsemblond
- Zelenáč
- Příspěvky: 8
- Škola: MFF UK
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ MichalAld: Ale vlastně nejsem, protože výše jsme zjistili, že jsou lineárně nezávislé a u lineární nezávislosti je a = b = 0.
Offline
#13 06. 01. 2022 23:53
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
Stýv napsal(a):
↑ MichalAld: Jenze to funguje jenom pro dva vektory.
No, pro více vektorů funguje ekvivalent [mathjax]a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + ... +a_{n-1}\vec{v_{n-1}}=\vec{v_n}[/mathjax]
U vztahu [mathjax]a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + ... +a_{n}\vec{v_{n}}=0[/mathjax] mi na první pohled není zřejmé, jak by to muselo být s těmi nulami, jestli musejí být nenulové všechny koeficienty, nebo aspoň jeden.
Offline
#14 06. 01. 2022 23:59
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
achanojsemblond napsal(a):
↑ MichalAld: Ale vlastně nejsem, protože výše jsme zjistili, že jsou lineárně nezávislé a u lineární nezávislosti je a = b = 0.
Určitě to tak bude, že když jediná možnost jak to splnit je, že jsou všechny koeficienty nulové, tak jsou vektory lineárně nezávislé
Ještě je nějaká legrace s lineární nezávislostí, když je jeden z vektorů nulový. To taky úplně nevím, jak mají matematici definované. Ale u nenulových vektorů to musí být tako, určitě.
Offline
#15 07. 01. 2022 10:58
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ MichalAld: Takze trojice (1,0), (1,0) a (0,1) je podle tebe nezavisla?
Offline
#17 07. 01. 2022 13:06 Příspěvek uživatele achanojsemblond byl skryt uživatelem achanojsemblond.
#18 07. 01. 2022 13:08
- achanojsemblond
- Zelenáč
- Příspěvky: 8
- Škola: MFF UK
- Pozice: student
- Reputace: 0
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ MichalAld: Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x1,x2,...,xn prostoru V je lineárně nezávislá, jestliže z rovnosti a1x1 +a2x2 +···+anxn = 0 plyne, že a1 = a2 = ··· = an = 0. V opačném případě říkáme, že posloupnost x1,x2,...,xn je lineárně závislá.
Offline
#19 07. 01. 2022 16:20 — Editoval osman (07. 01. 2022 16:55)
Re: Lineární nezávislost 3 a √3
↑ achanojsemblond:
Jestli jsem to dobře pochopil, tak se jedná o vektorový prostor nad tělesem racionálních čísel. Prvky množiny vektorů jsou mimo jiné vektory
[mathjax]\overrightarrow{u}[/mathjax]=[3], [mathjax]\overrightarrow{v}[/mathjax]=[[mathjax]\sqrt{3}[/mathjax]]
Aby byly vektory lineárně závislé, mělo by platit, že
[mathjax]\vec{u}=a\cdot \vec{v}[/mathjax], kde [mathjax]a[/mathjax] je nenulové racionální číslo. Může takové racionální číslo existovat?
Hlavní je zápal, talent se dostaví!
Offline