Matematické Fórum

↑ idkfa2017:

To bych rozhodně netvrdil: reálné číslo může být "cokoliv"

Kromě reálných čísel jsou také čísla imaginární. Reálná a imaginární čísla dohromady jsou komplexní čísla.
V reálném oboru neudělám sudou odmocninu ze záporného čísla.
V komplexním oboru udělám jakoukoli odmocninu, platí tam, že n-tá odmocnina je n- značná.
Komplexní čísla ale nelze srovnávat podle velikosti, to lze jen reálná čísla.

↑ vlado_bb:
Ahoj, s axiomem výběru lze každou množinu dobře uspořádat.
Otázka ale je, zda na komplexních číslech existuje uspořádání, jehož podmnožinou je uspořádání reálných čísel, a které je nějakým způsobem "slučitelné" s operacemi v komplexních číslech (jako norma, apod.). Tady lze ukázat, že neexistuje, jen už si nevybuju přesně definici té "slučitelnosti".

idkfa2017 napsal(a):

Dá se říci, že reálné číslo může být "cokoliv"?

Pokud ne, co je to ostatní, ta "nereálná" čísla?

Každopádně, ta množina reálných čísel je "hustá", nejsou v ní už žádné mezery jako třeba v množině racionálních čísel. Žádnou "hustější" množinu už nevymyslíme. Pokud si to představíme na číselné ose, tak neexistuje žádný bod, který by neodpovídal nějakému reálnému číslu. V tomto smyslu už žádná "lepší" množina neexistuje.

Ale samozřejmě lze vymyslet i jiné objekty, než reálná čísla, se kterými můžeme provádět ty samé kousky.

Nejznámější jsou ta komplexní čísla, ale ani ty nejsou vložené někde mezi těmi reálnými. Komplexní číslo je v podstatě dvojice reálných čísel, se specificky definovanými operacemi násobení a dělení. A lze ukázat, že je to docela šikovné - že v této množině komplexních čísel má polynom n-tého stupně vždy n kořenů. To nad reálnými čísly neplatí.

Ale je to pořád taková speciální n-tice čísel. A jsou i další, známé jsou třeba kvaterniony, a pak také vektory a matice (a obecně tenzory) ... a lze vymýšlet i mnohem složitější objekty.

Ale nic z toho není "zahuštění" množiny reálných čísel, vše je tak říkajíc "přidáním dalších dimenzí".

↑ Wotton:

Protože pak můžeme zavést systém, ve kterém popřeme platnost axiomu výběru - a tedy i možnosti dobrého uspořádání. A pořád budeme mít bezesporný systém ... byť s poněkud exotickými vlastnostmi.

Čímž se dostáváme k tomu, že množinu lze dobře uspořádat pokud předpokládáme že ji lze dobře uspořádat, a nelze ji dobře uspořádat, pokud předpokládáme že nelze.

A to je to, co mi hlava moc nebere ... když by existoval způsob jak to provést, tak jak to potom může "nejít" ?