Matematické Fórum

evulka.nov

ahojky, mám zadané 2 příklady, ale k prvnímu nemám výsledek a u druhého mi to vychází jinak než má., chtěla bych poprosit někoho, jestli to mám dobře.
1. zadání: Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami $y = x$ ; $y = \frac{1}{x}$ ; $y = 0$ ; $x=2$
kolem osy x.
postup: $V = \pi\int_{0}^{1} [\frac{1}{x}]^2 dx + \int_{1}^{2} [x^2 - [\frac{1}{x}]] dx$
dale pak $V = \pi\int_{0}^{1} [\frac{-1}{x}] +\int_{1}^{2} [\frac{x^3 }{3}+\frac{1}{x}]=$ po dosazeni mezí jsem dostala výsledek $V = \frac{5}{6}\pi$ . graf jsem si načrtla na této stránce http://rechneronline.de/function-graphs/.
2. zadání:
Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami $y=x^3+3$ ; $x=-1$ ; $x=1$ ; $y=0$
kolem osy x.
postup: $V=\pi\int_{-1}^{1} (x^3+3)^2 dx$ , upravim: $V=[x^6+6x^3+9]$ zintegruju $V=\int_{-1}^{1}[(x^7/7)+(\frac{3}{2}x^4)+(9x)]$ .a po dosazeni mezi jsem dostala vysledek $V = \frac{149}{7}\pi$ . ale ma to vyjit $V = \frac{112}{5}\pi$ . tak nevim kde delam chybu. diky. jo a utech objemu mi tam chybi to pi ale tak ve vysledku to mam..

Olin · 22. 06. 2009 11:30

Úroveň matematických zápisů docela hrozná, ale pochopit se to naštěstí dá.

V tom druhém není správně ani jeden výsledek - má to být $V = \frac{128}{7}\pi$ (výpočet).

V prvním máš špatně ty oblasti, kde se integruje - přece $\int_0^1 $\frac 1x $^2 \mathrm{d}x$ je divergentní. Po tvém dosazení ti musel vzniknout nesmysl, protože dosazuješ nulu do jmenovatele. Správně nejprve integruješ pod přímkou $y = x$ a pak pod hyperbolou $y = \frac 1x$ (viz grafy). Integrál pak vypadá
$V = \pi \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x + \pi \int_1^2 \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \frac56 \pi$ .

Matematické Fórum

#1 22. 06. 2009 11:10 — Editoval evulka.nov (22. 06. 2009 11:11)

správný postup výpočtu objemu???

#2 22. 06. 2009 11:30

Re: správný postup výpočtu objemu???

Zápatí