Matematické Fórum

Za předpokladu, že neuvažujeme změny teploty ani jiných vlastností vzduchu v atmosféře lze vzorec odvodit následující úvahou: Uvažujme nějakou velmi tenkou vrstvu vzduchu, ve výšce h. Ta musí mít takový tlak, aby udržela tíhu všeho vzduchu, co je nad ní. A zároveň se tíha vzduchu zvýší o hmotnost (tíhu) té vzduchové vrstvy. Takže změna tlaku ve vrstvě o zanedbatelné šířce dh je úměrná hmotnosti té vrstvy dm (S je plocha toho myšleného sloupce, který analyzujeme.

[mathjax]S \cdot \Delta p = g \cdot \Delta m[/mathjax]

A když si rozepíšeme hmotnost vzduchové vrstvy

[mathjax]\Delta m = S \cdot \varrho \cdot \Delta h[/mathjax]

dostaneme

[mathjax]S \cdot \Delta p = S \cdot g  \cdot \varrho \cdot \Delta h[/mathjax]

a po vykrácení plochy (na které nakonec nezáleží)

[mathjax]\frac{ \Delta p}{\Delta h} =  g  \cdot \varrho[/mathjax]


Pokud by to byla kapalina (např. voda v moři) tak jsme hotovi. Ale u vzduchu závisí jeho hustota na tlaku, podle stavové rovnice plynů

[mathjax]pV = NkT[/mathjax]

z čehož snado dojdeme k tomu, že hustota plynu závisí na tlaku jako [mathjax]\varrho = A \cdot p[/mathjax], kde A je prostě nějaká konstanta, závisející na hmotnosti atomů toho plynu, teplotě a možná ještě něčem.

\frac{ \Delta p}{\Delta h} =  g  \cdot \varrho (p)=A \cdot g \cdot p

[mathjax]\frac{ \Delta p}{\Delta h} =  A \cdot g \cdot p (h)[/mathjax]

g (gravitační zrychlení) můžeme do konstanty zahrnout taky. Vyřešit takovouto rovnici asi není věc pro střední školy, ale ve skutečnosti je to celkem snadné. Jedná se o tzv. diferenciální rovnici, a správně by se měla zapsat jako

[mathjax]\frac{ d p}{d h} - A p = 0[/mathjax] nebo

[mathjax]p' - A p = 0[/mathjax]

a kdo o diferenciálních rovnicích někdy slyšel, tak ví, že řešení je celkem jednoduché,

[mathjax]p = p_0 e^{Ah}[/mathjax]

kde p0 je tlak ve výšce h=0, a kladný směr výšky h je směrem dolů.

Pro výpočet příkladu bychom ovšem tu konstantu A museli určit, nebo někde najít. Pro malé výšky můžeme exponenciální funkci nahradit přímkou a dostaneme

[mathjax]p = p_0 (1 + Ah)[/mathjax]