Matematické Fórum

Já v tom mám taky trochu zmatek. Taky je otázka, jesli rozlišuješ [mathjax]ds[/mathjax] a [mathjax]\overrightarrow{ds}[/mathjax].

Primární definice integrálu vektoru síly podél křivky je

[mathjax]\int \vec{F(\vec r)} \overrightarrow{dr}[/mathjax]

kde r je polohový vektor (což jsou prostě souřadnice bodu x,y,z) a F(r) je vektor (třeba síly) v tomto bodě. A zároveň je r(...) parametrické vyjádření té křivky, po které integrujeme.

A intuitivní předstva jak takový integrál počítat je, že si křivku rozdělíme na malé (stejně dlouhé) elementy ds, a v každém tom elementu si setrojíme jednotkový tečný vektor , vynásobíme [mathjax]\vec{F} \cdot \vec{1} \cdot ds[/mathjax] a posčítáme to.


Aby byl tečný vektor všude jednotkový, musíme použít takovou parametrizaci, kde parametrem křivky je její délka s. Potom je tečný vektor [mathjax]\frac{d\vec{r}}{ds}[/mathjax] jednotkový a integrál můřeme zapsat jako

[mathjax]\int \vec{F(\vec r)} \frac{\overrightarrow{dr}}{ds}ds[/mathjax]

což se zpravidla zkracuje na [mathjax]\int \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{ds}[/mathjax]

Ale (nejspíš) není žádná nutnost použít zrovna takovouto parametrizaci, protože klidně můžeme provést další substituci s = s(q), ds = ds/dq * dq a máme

[mathjax]\int \vec{F(\vec r)} \frac{\overrightarrow{dr}}{ds} \frac{ds}{dq}=\int \vec{F(\vec r)} \frac{\overrightarrow{dr}}{dq}=\int \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{dq}[/mathjax]

Takže podle mě je úplně jedno, jakou parametrizaci si zvolíme, protože když ten tečný vektor křivky po které integrujeme nebude jednotkový, změní se stejnou měrou i ten element dq. Takže výsledek bude vždycky stejný.

Ale pro intuitivní představu je určitě lepší, když je tečný vektor jednotkový, nebo má aspoň stále stejnou velikost.

Protože intuitivní představa je, že [mathjax]\overrightarrow{dr}[/mathjax] je prostě vektor, který odpovídá elementu té křivky - tedy má stejný směr a stejnou velikost. Kdyby nebyl nekonečně malý, tak to bude [mathjax]\overrightarrow{\Delta r}[/mathjax], což už má blízko k tomu klasickému vzorci pro práci [mathjax]W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{\Delta r}=F \cdot s \cdot \cos \alpha[/mathjax]

(ale úplnou jistotu v tom nemám, takže budu taky docela rád, když si v tom udělám definitivně jasno)