Matematické Fórum

↑ Marcia24:
Mně ten popis zadání není jasný. Napiš prosím celé zadání podrobně.

↑ Marcia24:
Je to lepší. Nicméně pořád bych potřeboval trochu více rozumět kontextu.

Jde asi o nějaká "měření". Měřit můžeme spoustu věcí. Od něčeho jako "kolikrát hodím kostkou předtím než mi poprvé padne šestka" po zaludnejsi jevy typu "kolik měsíců v roce byla v dané zemi naměřena teplota pod nulou". Taková měření se můžou chovat velmi velmi odlišně a teprve podle způsobu chování se pak snažíme usuzovat něco o pravděpodobnosti budoucich měření.

Chci říct, že bez kontextu budou odpovědi na tvé otázky buď velmi obecné (nepoužitelné) nebo pritazene za vlasy.

Například mi není jasné, zda z tabulky vyplývá, že v roce 2005 mohlo měření skončit v intervalu (3,5) s nulovou pravděpodobností. (Spíš mělo nenulovou pravděpodobnost, ale zrovna se to ten rok nestalo.. bez kontextu se bude fakt těžko usuzovat něco víc.)

↑ Marcia24:
To vypadá na nějaké supertajné měření, o kterém nechceš říct nic víc :D

Ono až na základě kontextu se určuje, jak budeme situaci modelovat. Konkrétně se začne předpokládat nějaké rozložení pravděpodobnosti (tzv. distribuce pravděpodobnosti). Například při házení kostkou předpokládáme, že každé číslo od 1 do 6 padá stejně často, tedy že to není nějaká magická kostka. Pokud měříme třeba výšku lidí, předpokládáme, že nejvíce lidí měří kolem 175 cm, zatímco výšky 200 cm nebo 150 cm jsou méně pravděpodobné. Prostě kontext je opravdu velmi klíčový.

Ve tvých měřeních by se mi třeba chtělo předpokládat, že nezáleží na roce, ve kterém měříme. Takže bych se podíval na součty pro dané intervaly: 16, 17, 19. Dále bych třeba chtěl předpokládat, že měření nemůže dát výsledek mimo interval (1, 7). Z čísel 16, 17, 19 by se mi chtělo předpokládat, že každý interval je stejně pravděpodobný. Jenže smysluplnost předpokladů závisí na kontextu, který jsi stále neprozradila.

Pravděpodobnost, zda v daném roce naměříme aspoň jeden výsledek v intervalu např. (1, 3) bude velmi záležet na počtu provedených měření. Takže stále potřebujeme přesnější zadání.

↑ Marcia24:
Poissonovo rozdělení?

↑ Marcia24:
Tvému výpočtu nerozumím. Napiš to prosím s konkrétními čísly v této úloze.

Počítat poissonovo lambda pro každý rok zvlášť zní velmi zvláštně. To lambda má vyjadřovat, kolikrát se průměrně stane nějaká událost během pevně zvoleného časového intervalu. Například by mi dávalo smysl pevně zvolit časové období jako 1 rok (ale můžeš si zvolit jiné) a událost si zvolit jako "nastane zemětřesení o síle větší než 7". Potom máme v tabulce za 6 let 16 takových zemětřesení, tedy odhad na lambda je 16/6.

Potom můžeme odpovídat na otázky typu "jaká je pravděpodobnost, že v roce 2023 nenastane žádné zemětřesení o síle větší než 7".

Ok, zvolme si časový interval jeden rok a bude nás zajímat počet zemetřesení o síle 7 až 8. Přirozený odhad pro lambda je 16/6, protože za 6 let jsme pozorovali 16 takových zemětřesení. Tedy [mathjax]\lambda=2.67[/mathjax]. Řekněme, že nás zajímá pravděpodobnost, že v roce 2023 nenastane žádné zemětřesení. Vztahy pro Poissonovo rozdělení říkají, že stačí použít vzoreček [mathjax]P(\textrm{pocet zemetreseni behem jednoho roku} = 0) = \frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}=e^{-2.67}=7\ \%[/mathjax].

Já nemám přemýšlení typu "stačí použít vzoreček" moc v oblibě, takže to trochu rozepíšu. Můžeš si zvolit nějaký jiný časový interval, například půl roku. Pak máme podle tabulky 16 událostí během 12 půlroků, takže přirozený odhad na lambdu je 16/12, tj. [mathjax]\lambda=1.33[/mathjax]. Vzoreček by nám potom dával [mathjax]P(\textrm{pocet zemetreseni behem pul roku} = 0) = \frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}=e^{-1.33}=26\ \%[/mathjax]. Dává dobrý smysl, že pravděpodobnost půl roku bez zemětřesení je větší než pravděpodobnost celého roku bez zemětřesení. Pravděpodobnost dvou půlroků bez zemětřesení za sebou je [mathjax]0.26^2=0.07[/mathjax], což je předchozí výsledek (zaokrouhluju).

Abych se teda dostal k tomu, jak tu situaci začít cítit intuitivně bez náhodného vzorečku... Představ si, že zvolíme hodně krátký časový interval, třeba jeden týden. Podle tabulky jsme měli 16 zemětřesení za [mathjax]52\cdot 6=312[/mathjax] týdnů. Můžeme tedy přibližně říct, že během jednoho týdne nastane zemětřesení s pravděpodobností [mathjax]16/312=0.05[/mathjax] a nenastane s pravděpodobností [mathjax]0.95[/mathjax]. Pravděpodobnost, že nenastane celý rok, tedy 52 týdnů po sobě, je přirozeně [mathjax]0.95^{52}[/mathjax], což dá přibližně těch 7 %.

Čím kratší časový interval si zvolíme, tím přesněji nám bude postup z předchozího odstavce sedět s výsledkem, který dalo Poissonovo rozdělení ([mathjax]\frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}=e^{-2.67}=7\ \%[/mathjax]). Matematici totiž udělali přesně to, že se dívali na hodně krátké časové intervaly a spočítali, kam se v limitě takto spočítané pravděpodobnosti blíží. Jako první to udělal Poisson a vyšlo mu Poissonovo rozdělení :)