Matematické Fórum

Ahoj, jaky zvolis B. prostor je tady skoro jedno, protoze pokud ten pevny bod existuje, tak to bude hladka funkce, protoze [mathjax]x\mapsto\frac1{1+(x-y)^2}[/mathjax] je hladka funkce. Jde jen o to, aby ten integral byl definovan, na coz staci [mathjax]u\in L^1(-a,a)[/mathjax]. V zadani naznacuji, ze mas pouzit prostor [mathjax]C(-a,a)[/mathjax], takze je to na tobe. Jde jen o to spocitat [mathjax]\|Fu\|_X[/mathjax] ([mathjax]Fu[/mathjax] je ta prava strana) pro vybrany prostor [mathjax]X[/mathjax], coz bude mozna pro [mathjax]C(-a,a)[/mathjax] trochu jednodussi nez pro [mathjax]L^1(-a,a)[/mathjax] (vyhnes se dvojitemu integralu). A pak samozrejme odhadnout pomoci [mathjax]c\|u\|_X[/mathjax], kde [mathjax]c<1[/mathjax].

Pokud [mathjax]a=\infty[/mathjax] si nejdriv musis ohlidat, ze [mathjax]Fu[/mathjax] je definovano (integral konverguje). Neco mi ale rika, ze ve standardnich prostorech uz to nebude kontrakce, ale izometrie. Jeste bych zvazil prostor funkci, pro ktere je norma [mathjax]\int_{-a}^a\frac{|u(y)|}{1+|y|^2}[/mathjax] konecna...to by mohlo dat neco lepsiho, ale detailne jsem to nepromyslel.

↑ Pomeranc:
No to je v podstate ekvivalentni, vzpomen si, jak se dokazuje existence reseni ODR - fixed point pro vhodny integralni operator.