Ahoj, chtěla bych vědět jestli postupuji správně u tohoto příkladu, jestli jsem ho dobře pochopila.
[mathjax] A = \begin{pmatrix} 2 & 0 &0 \\ 0 & -3 &0 \\0 & 0 &-1 \end{pmatrix}[/mathjax]
Nechť A je matice liearního operátoru [mathjax]L: P_{2}\Rightarrow P_{2}[/mathjax] vzhledem k bázi prostoru [mathjax]P_{2}[/mathjax] tvořené polynomy
[mathjax]q_{1}=2x^{2}+3x +17[/mathjax]
[mathjax]q_{2}= 3x^{2} + 2x +11[/mathjax]
[mathjax]q_{3}= 6x^{2} + 3x +16[/mathjax]
Určete matici B linearního operátoru L vzhledem k bázi prostoru [mathjax]P_{2}[/mathjax] tvořené polynomy
[mathjax]p_{1}=1x^{2}+2x -1[/mathjax]
[mathjax]p_{2}=1x^{2}+3x +1[/mathjax]
[mathjax]p_{3}=3x^{2}-1x +1[/mathjax]
A na závěr ještě určit zda L je ortogonální transformace.
Řekla jsem si, že hledaná matice B bude mít výraz jako B = TA, kde T uvažuji jako matici přechodu od báze p k bázi q
a tedy jsem řešila soustavu rovnic [mathjax] \begin{pmatrix} 1 & 1&3 &/ 2 & 3 &6 \\ 2 & 3 &-1 &/ 3 & 2 &3\\-1 & 1&1&/ 17 & 11 &16 \end{pmatrix}[/mathjax] Kde mi jako moje matice přechodu T vyjde [mathjax]A = \begin{pmatrix} \frac{-26}{3} & \frac{-47}{9} &\frac{-65}{9} \\ \frac{43}{6} & \frac{41}{9}&\frac{59}{9} \\\frac{7}{6} & \frac{11}{9} &\frac{20}{9} \end{pmatrix}[/mathjax]
Podle mě jsem to nepochopila správně a budu ráda jestli mi to někdo objasníte, díky :)
Offline
↑ Anna12:
Ahoj, ja bych na to sel takto:
Pokud si oznacis [mathjax] Q=\begin{pmatrix}2&3&6\\ 3&2&3\\ 17&11&16\end{pmatrix}[/mathjax] matici tvorenou koeficienty polynomu [mathjax]q_i[/mathjax], pak pro kazdy polynom [mathjax]f\in P_2[/mathjax] plati
[mathjax] [f]_{\mathcal{E}}= Q[f]_{\mathcal{Q}}, [/mathjax]
kde [mathjax] [f]_{\mathcal{Q}}, [/mathjax] jsou souradnice (sloupcovy vektor) polynomu [mathjax]f[/mathjax] vzhledem k bazi [mathjax]\mathcal{Q}=\{q_1,q_2,q_3\}[/mathjax] a [mathjax] [f]_{\mathcal{E}}, [/mathjax] jsou souradnice polynomu [mathjax]f[/mathjax] vzhledem k bazi [mathjax]\mathcal{E}=\{x^2,x,1\}[/mathjax].
Podobna rovnost: [mathjax] [f]_{\mathcal{E}}= P[f]_{\mathcal{P}}, [/mathjax] plati pro matici [mathjax] P=\begin{pmatrix}1&1&3\\ 2&3&-1\\ -1&1&1\end{pmatrix}[/mathjax] a bazi [mathjax]\mathcal{P}=\{p_1,p_2,p_3\}[/mathjax].
Pro matice [mathjax]A[/mathjax] a [mathjax] B [/mathjax] pak plati vztahy: [mathjax] [Lf]_{\mathcal{Q}} = A[f]_{\mathcal{Q}} [/mathjax] respektive [mathjax] [Lf]_{\mathcal{P}} = B[f]_{\mathcal{P}} [/mathjax].
Ted uz jde o to, to jen vhodne zkombinovat:
[mathjax] B[f]_{\mathcal{P}} = [Lf]_{\mathcal{P}}= P^{-1}[Lf]_{\mathcal{E}} = P^{-1}Q[Lf]_{\mathcal{Q}}= P^{-1}QA[f]_{\mathcal{Q}} = P^{-1}QAQ^{-1}[f]_{\mathcal{E}} = P^{-1}QAQ^{-1}P[f]_{\mathcal{P}} [/mathjax],
takze [mathjax] B=P^{-1}QAQ^{-1}P. [/mathjax]
Offline