Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 03. 2022 21:46

Faf
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: PřF UP
Reputace:   
 

Reverze Váženého součtu

Zdravím,

mám matematickou otázku "z reálného života" (nakolik jsou naše životy a pravidla je řídící reálná; ale asi víc než čísla), která je IMHO někde na pomezí středoškolské a vysokoškolské matematiky, ale tak nějak to není do školy, tak to dám sem.
Kdyby to patřilo jinam, tak mě prosím přesuňte.

Nyní k problému;

Jsem v organizaci, kde se mají rozdělit nějaké prostředky mezi regionální pobočky podle předpisu a teď si nejsem osobně jist, jak se to má vlastně udělat.

Inkriminovaná relevantní část zni:
> ... podíl určený krajským organizacím se mezi ně rozdělí podle váženého součtu tak, že 70 % váhy tvoří počet získaných A a 30 % váhy tvoří počet získaných B.

Pro vážený součet jsem si dohledal toto: https://en.wikipedia.org/wiki/Conical_combination
Tedy X = x_1 * v_1 + x_2 * v_2 + ... + x_14 * v_14

OK?

Podíl určený krajským organizacím (X) je, dejme tomu "1 500 000,-".
Získané A a B jsou pro jednotlivé kraje(uspořádané seznamy): A = [6, 6, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 4, 2, 2, 3] a B = [2, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Z toho mi podle vzorce (jestli jsem ho odvodil správně) vycházejí váhy v_y = A_y * 0,7 + B_y * 0,3 vychází následující V = [4,8; 4,5; 1,4; 1,4; 0,7; 1,7;; 1,4; 1,4; 1,4; 0,7; 2,8; 1,4; 1,4; 2,1]

Podíly jednotlivých krajů by pak měli být y_a = x_a * v_a .

A tohle je moment, kdy nevím jak dál. Asi exituje řešení pro:
1 500 000 = Sum_(z=1...14){y_a} = Sum_(z=1 ... 14){x_z * v_z}

ale nejsem sto ho spočítat, nedokázal jsem to zadat do WolframAlpha (bo s tím běžně nepracuju) a hlavně mám pocit, že řešení je teoreticky nekonečně mnoho (i když se omezíme na to, že všechna x_z (a y_z)  musí být kladná.

Doufám, že jsem aspoň trochu srozumitelný.

Offline

 

#2 03. 03. 2022 22:06

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Re: Reverze Váženého součtu

Ahoj,
já bych to udělal zejdnodušeně řečeno tak, že (počítám vektorově) X:=0.7.A+0,3.B, Y:=X/|X| a ve vektoru Y jsou váhy, kterými se má vynásbit částka, kterou chci rozdělit (součet vah ve vektoru Y je totiž 1).


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#3 03. 03. 2022 23:14

Faf
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: PřF UP
Reputace:   
 

Re: Reverze Váženého součtu

↑ check_drummer:

Nerozumím částí "Y:=X/|X|" co se tím míní? |X| je suma všech X ?

Offline

 

#4 04. 03. 2022 17:45

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4179
Reputace:   111 
 

Re: Reverze Váženého součtu

Faf napsal(a):

v_y = A_y * 0,7 + B_y * 0,3 vychází následující V = [4,8; 4,5; 1,4; 1,4; 0,7; 1,7;; 1,4; 1,4; 1,4; 0,7; 2,8; 1,4; 1,4; 2,1]

Jo, myšlenka [mathjax]V_i = 0.7A_i + 0.3B_i[/mathjax] je správná. Akorát je tam třeba doplnit ještě "normovací koeficient" k, takže [mathjax]V_i = k(0.7A_i + 0.3B_i)[/mathjax], který se musí stanovit tak, aby součet všech vah dával dohromady jedničku, tedy

[mathjax]\sum_{1}^{n}V_i = \sum_{1}^{n}k(0.7A_i + 0.3B_i)=k\sum_{1}^{n}(0.7A_i + 0.3B_i)=1[/mathjax]

z čehož samozřejmě plyne, že [mathjax]k = \frac{1}{\sum_{1}^{n}(0.7A_i + 0.3B_i)}[/mathjax]

Takže jednotlivé váhy budou  [mathjax]V_k = \frac{0.7A_k + 0.3B_k}{\sum_{1}^{n}(0.7A_i + 0.3B_i)}[/mathjax]

Je třeba trošku dávat pozor na ty indexy, jsou tam dvojí. Ale určitě chápeš, jak je to myšleno.

Offline

 

#5 04. 03. 2022 17:48

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4179
Reputace:   111 
 

Re: Reverze Váženého součtu

check_drummer napsal(a):

Ahoj,
já bych to udělal zejdnodušeně řečeno tak, že (počítám vektorově) X:=0.7.A+0,3.B, Y:=X/|X| a ve vektoru Y jsou váhy, kterými se má vynásbit částka, kterou chci rozdělit (součet vah ve vektoru Y je totiž 1).

Já se ale obávám, že peníze se nesčítají vektorově ... že když dvěma krajům dáme jednomu 5000 Kč a druhém 10 000 Kč, tak celková suma je prostě 15 000 Kč, a né [mathjax]\sqrt{5000^2  + 10000^2} \doteq 11 180 [/mathjax]

Offline

 

#6 04. 03. 2022 21:34 — Editoval check_drummer (04. 03. 2022 21:40)

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Re: Reverze Váženého součtu

↑ Faf:
|X| je norma (délka) vektoru X, odmocnina ze součtu druhých mocnin složek.
Ale teď mi došlo jak píše kolega, že by se mělo místo |X| uvažovat jen suma složek vektoru X.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#7 04. 03. 2022 21:37 — Editoval check_drummer (04. 03. 2022 21:41)

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Re: Reverze Váženého součtu

↑ MichalAld:
Co znamená "sčítat peníze vektorově"?
Já určuju váhy, kterými vynásobit rozdělovanou částku.
Tak už asi vím co myslíš, nenormovat vektor, ale vydělit ho sumou složek, protože nechcemem mít jednotkový vektor, ale vektor, jehož složky mají součet 1.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#8 05. 03. 2022 18:35 — Editoval Faf (05. 03. 2022 18:36)

Faf
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: PřF UP
Reputace:   
 

Re: Reverze Váženého součtu

↑ MichalAld:

Děkuji oběma,

Normování mi dává intuitivně smysl, ale nejdřív jsem přemýšlel, proč normovat na součet 1. (Když při běžném součtu má každý sčítanec váhu jedna a tedy by dávalo smysl normovat na součet N, v tomto případě tedy 14.) Pak mi došlo, že normování na součet 1 mi pak umožní pronásobením součtové částky váhou dostat sčítanec příslušný k dané konkrétní váza, takže pak můžu jasně vypočítat rozdělelní.

Tedy;

[mathjax]\sum_{1}^{n}V_i = \sum_{1}^{n}k(0.7A_i + 0.3B_i)=k\sum_{1}^{n}(0.7A_i + 0.3B_i)=1[/mathjax]

z čehož samozřejmě plyne, že [mathjax]k = \frac{1}{\sum_{1}^{n}(0.7A_i + 0.3B_i)}[/mathjax]

Takže jednotlivé váhy budou  [mathjax]V_k = \frac{0.7A_k + 0.3B_k}{\sum_{1}^{n}(0.7A_i + 0.3B_i)}[/mathjax]

[mathjax]{\sum_{1}^{n}(0.7A_i + 0.3B_i)} = 27.1[/mathjax], jestli dobře počítám

A [mathjax]V \doteq [0.177, 0.166, 0.052, 0.052, 0.026, 0.063, 0.052, 0.052, 0.052, 0.026, 0.103, 0.052, 0.052, 0.077][/mathjax]

Díky.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson