#1 24. 03. 2022 21:03
- Lukáš Ba-mat-fyz
- Místo: Bratislava
- Příspěvky: 145
- Škola: FMFI UK, Wien Uni
- Pozice: double student
- Reputace: 3
Substitucni vs Lagrange metoda
Ahojte,
Prosim Vas. Narazil jsem na takovej velmi zvlastni priklad a nedokazu pochopit jeho reseni.
Je to jen jednoduchej priklad z extemu pri podmince.
Priklad:
[mathjax]f(x,y)=5x^2-3y^2+6x*y+15[/mathjax]
pri ohraniceni:
[mathjax]x+2y=1[/mathjax]
Pokud to udelame substitucni metodou, pouzitim [mathjax]x=1-2y[/mathjax], dostaneme bod [mathjax][\frac{-9}{5},\frac{7}{5}][/mathjax] jako mozny extrem a nasledne druha derivace je je cislo 10 a tedy bychom to prohlasili za minimum.
Ale.
Pokud pouzijem Lagrangeovu metodu, tak dostaneme stejny bod, ale uz pak Hessian nasi funkce je:
[mathjax]
\begin{pmatrix}
10 & 6\\
6& -6
\end{pmatrix}
[/mathjax]
a uz mame sedlovy bod.
Rad bych se tedy zeptal, zda existuje veta,nebo lema, ktera by tohle potvrdila a tedy, ze Hessian je nadrazeny pred pouzitim substitucny metody a funguje to je pri zhode?
Dekuju moc.
Ibaže by som sa mýlil.
Offline
#3 24. 03. 2022 23:39
Re: Substitucni vs Lagrange metoda
↑ Lukáš Ba-mat-fyz:
Ahoj, pokud pouzijes u vazanych extremu metodu Lagrangeovych multiplikatoru a vyjde ti "sedlovy bod", neznamena to, ze se v tom bode nenachazi vazany extrem. Plati, ze pokud ti u vazanych extremu vyjde z Hessovy matice, ze se ve zkoumanem bode nachazi extrem, pak tam ten extrem je. Pokud ti vyjde sedlovy bod, pak tam extrem byt muze, ale take nemusi. K tomu, abys mel jistotu, bys musel spocitat "druhou smerovou derivaci"
[mathjax] \mathrm{d}^2_uf(x,y) \; = \; u^TH(x,y)u, [/mathjax]
kde [mathjax]u[/mathjax] je jednotkovy tecny vektor v bode [mathjax](x,y)[/mathjax]. Ve tvem pripade je [mathjax] u =\frac{1}{\sqrt{5}}(2,-1)^T[/mathjax]
[mathjax] \mathrm{d}^2_uf(-9/5,7/5) \; = \; \frac{1}{5}(2,-1) \begin{pmatrix}10 & 6\\6& -6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = 2 > 0\quad\Rightarrow\quad\mbox{minimum} [/mathjax]
PS: Takze vlastne nezalezi, jestli je ten vektor [mathjax] u[/mathjax] jednotkovy, jde nam stejne jen o znamenko.
Offline