Matematické Fórum

Ahoj,

na to podle me potrebujes separabilitu.. pak ta ON baze je husta, takze kdyz mam dane [mathjax]\varphi\in X^*[/mathjax], tak pro kazde [mathjax]\epsilon>0[/mathjax] najdu [mathjax]N[/mathjax] tak, ze [mathjax]\|\varphi-\sum_{i=0}^N(\varphi,e_i)e_i\|<\epsilon[/mathjax], tudiz [mathjax](\varphi,e_n)=(\varphi-\sum_{i=0}^N(\varphi,e_i)e_i,e_n)\leq \epsilon\|e_n\|=\epsilon[/mathjax] pokud [mathjax]n>N[/mathjax] diky ortonormalite. Takze [mathjax](\varphi,e_n)\to0[/mathjax] pro [mathjax]n\to\infty[/mathjax] a kazde [mathjax]\varphi\in X^*[/mathjax], tj. [mathjax]e_n\rightharpoonup0[/mathjax]. Vsimni si, ze pokud [mathjax]X=L^2[/mathjax], tak tohle je (vicemene) Riemann-Lebesgue lemma.

V prvni rade, konvergence bodova a stejnomerna se tykaji nekolika malo konvencnich prostoru. Slaba konvergence je mnohem obecnejsi pojem, ktery ma smysl v kazdem topologickem vektorovem prostoru. Da se predstavit leda tak v Hilbertaku, vic ne. Troufnu si rict, ze nez cloveku dojdou vsechny dulezite souvislosti tykajici se slabe konvergence, tak to trva roky, takze to chce hlavne trpelivost. Pro me je to zaklad funkcionalni analyzy a mohl bych tady o tom psat stranky, ale vicemene bych jen opisoval ruzna skripta. Doporucuju na uvod Lukesova (redukovana) skripta - takova ta oranzova tenka knizka, je tam i dost prikladu tykajici se Hilbertaku, kde se to da docela dobre predstavit. Specialne v [mathjax]L^2[/mathjax], kdyz posloupnost slabe konverguje k nule, tak se ti muzou stat, myslim, 3 veci:
1) jde k nule i v norme
2) zacne cim dal vic oscilovat - to je pripad bazovych funkci (cos nx)
3) rozplizne se v nekonecnu

↑ Pomeranc:
No ve strucnosti se da rict, ze slaba konvergence [mathjax]u_n[/mathjax] k [mathjax]u[/mathjax] znamena, ze
[mathjax]\lim_{n\to\infty}\langle \varphi,u_n\rangle_{X^*,X}=\langle\varphi,u\rangle_{X^*,X}[/mathjax] pro vsechny [mathjax]\varphi\in X^*[/mathjax],
takze to je to, co je potreba overit, ale to asi vis. Casto se stava, ze [mathjax]X[/mathjax] obsahuje [mathjax]C^{\infty}[/mathjax] jako hustou podmnozinu, a pak staci dokazat limitu vyse pro vsechny [mathjax]\varphi\in C^{\infty}[/mathjax] (plus to, ze [mathjax]\|u_n\|_X[/mathjax] je omezena, samozrejme). Vetsinou byva problem ne ukazat, ze neco konverguje slabe, ale ze to konverguje k tomu, "k cemu ma". Tenhle problem vznika kvuli nelinearitam, zkus napr. sl. limitu [mathjax]u_n=\sin(nx)[/mathjax] vs. limita [mathjax]u_n^2[/mathjax]. Dalsi dulezity pohled je skrze konvexitu: konvexni mnoziny jsou prave ty slabe uzavrene, nebo jinymi slovy, slaba konvergence zachovava nerovnosti. V kontextu daneho nekonecne-dim. prostoru, samozrejme, v prostorech konecne dimenze plati slabe=silne, jak vime z linearni algebry.