Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 15. 04. 2022 11:45 — Editoval Panondras (15. 04. 2022 11:46)
Složky vektorů příklad
Potřeboval bych pomoc s řešením jednoho příkladu o vektorech.
Zadání:
Vektor v rovině xy má složky [mathjax]a_{x}[/mathjax] = -25 jednotek a [mathjax]a_{y}[/mathjax] = 40 jednotek. a) Jakou má velikost?
b) Jaký úhel svírá s kladným směrem osy x?
První část jsem vypočítal a velikost vektoru mi vyšla 47,2 jednotek. Druhou část nemůžu pochopit a potřeboval bych ji vysvětlit. Výsledek má být [mathjax]122^\circ [/mathjax] , ale nevím, jak se ktomu dostat. Velikost mi vyšla [mathjax]-58^\circ [/mathjax], ale ne těch 122.
Děkuji moc za pomoc.
Offline
#2 15. 04. 2022 12:36
Re: Složky vektorů příklad
Dobrý deň ↑ Panondras:.
Tú prvú časť máš dobre. Lebo [mathjax]|xy| = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} = \sqrt{(-25)^{2} + (40)^{2}} \doteq 47,2[/mathjax]
Offline
#3 15. 04. 2022 12:53 — Editoval fmfiain (15. 04. 2022 15:11)
Re: Složky vektorů příklad
Ďalej,
majme jednotkový vektor na kladnej osi x. Nech je teda: [mathjax]x = (x_{1}, x_{2}) = (1,0)[/mathjax]
Vzorec na výpočet uhla je: [mathjax]cos(\varphi ) = \frac{a_{x}*x_{1} + a_{y}*x_{2}}{|xy|*|x|} = \frac{-25+0}{47.2*1} = -0.5
[/mathjax]
[mathjax]\varphi = cos^{-1}(-0.5) = 120°[/mathjax]
Tu je kalkulačka na ten cos: https://www.calculat.org/sk/goniometric … sinus.html
Offline
#4 15. 04. 2022 13:11 — Editoval Panondras (15. 04. 2022 13:11)
Re: Složky vektorů příklad
↑ fmfiain:
Díky za odpověď. Výsledek máš správně, ale já mám zvorec v učebnici k tomuto říkladu [mathjax]tan^{-1}[/mathjax] = [mathjax]x_{y}/x_{z}[/mathjax] . Tento vzorec bych chtěl tím pádem použít ( a hlavně pochopit výsledek).
Takže když zadám [mathjax]tan^{-1} = \frac{40}{-25} [/mathjax] vyjde mi -[mathjax]58^\circ [/mathjax]. A výsledem má být 122, což je 180[mathjax]^\circ [/mathjax] + (- [mathjax]58^\circ [/mathjax]). Já bych akorát potřeboval vysvětlit, proč to tak je. Pokud to tak teda je. Snad jsem to dobře vysvětlil.
Offline
#5 15. 04. 2022 14:47
Re: Složky vektorů příklad
↑ Panondras:
Zdravím,
je třeba si uvědomit, že fce tangens má základní periodu pi. A rameno úhlu [mathjax]-58^\circ [/mathjax] leží ve čtvrtém kvadrantu, jeho velikost v základním tvaru je [mathjax]360^\circ -58^\circ=302^\circ [/mathjax]. Stejnou hodnotu jako má [mathjax]\text{tg}302^\circ [/mathjax] má i [mathjax]\text{tg}(302^\circ-180^\circ )=\text{tg}122^\circ [/mathjax]
Offline
#6 15. 04. 2022 15:05
Re: Složky vektorů příklad
↑ fmfiain:
Zdravím,
jestli ve tvém výpočtu * znamená krát, tak -25*0 není -25, ale 0. Navíc ve výpočtu máš zaokrouhlení, proto ti vychází přibližný úhel.
Offline
#9 15. 04. 2022 19:23 — Editoval fmfiain (15. 04. 2022 19:43)
Re: Složky vektorů příklad
Dobrý deň ↑ Panondras:,
pozri si obrázok dotičnice (tangenty) na kružnici na strane 39 tohto pdf:
https://cloud2.edupage.org/cloud/knizni … RF1BPud2U5
Z toho môžeš vyčítať: [mathjax]tan(\varphi ) = \frac{sin(\varphi )}{cos(\varphi )} = \frac{a_{y}}{a_{x}}[/mathjax]
Ono totiž, sínus je rovný [mathjax]a_{y}[/mathjax] a kosínus je rovný [mathjax]a_{x}[/mathjax].
Ak by si chcel počítať priesečník tangenty so zápornou osou x, potom by si musel zmeniť znamienko pri kosínuse (alebo pri [mathjax]a_{x}[/mathjax]): [mathjax]tan(\varphi ) = \frac{sin(\varphi )}{-cos(\varphi )} = \frac{a_{y}}{-a_{x}}[/mathjax]
Ak by si chcel počítať dotičnicu (tangentu) s kladnou osou y, musel by si počítať kotangens, ktorý je kolmý na tangens a teda [mathjax]cotg(\varphi ) = \frac{cos(\varphi )}{sin(\varphi )} = \frac{a_{x}}{a_{y}} [/mathjax].
Ak by si chcel počítať dotičnicu (tangentu) so zápornou osou y, musel by si počítať kotangens, ktorý je kolmý na tangens a má záporný sínus [mathjax]cotg(\varphi ) = \frac{cos(\varphi )}{-sin(\varphi )} = \frac{a_{x}}{-a_{y}}[/mathjax]
Je to spôsobené tým, že sa jedná o bod na kružnici (na to sa používajú goniometrické funkcie). A pre body na kružnici sa používajú vzťahy: [mathjax]sin(\varphi ) = a_{y}[/mathjax] a [mathjax]cos(\varphi ) = a_{x}[/mathjax].
Pre bod na kružnici [mathjax]X = [cos(\varphi ), sin(\varphi )] = [a_{x}, a_{y}][/mathjax]
Offline
#10 15. 04. 2022 20:20
Re: Složky vektorů příklad
↑ Panondras:
Zde využíváš jednotkovou kružnici, vlastnosti orientovaného úhlu a vlastnosti fce tangens. Co přesně není jasné?
Offline