Matematické Fórum

Dobrý den, prosím o kontrolu.
Děkuji. :)


Procházím 80 místností (zelené obdélníky). Do další místnosti vedou 4 dveře (úsečky mezi obdélníky)
Vždy jsou troje dveře bezpečné a jedny zlé. Nejdou nijak rozpoznat a jsou náhodně rozmístěné.
I když si vyberu zlé dveře, dostanu se do další místnosti (jako u bezpečných), ale přijdu o 1 život.
Pokud přijdu o poslední život, selhal jsem.
Pokud se dostanu z místnosti číslo 80 alespoň s jedním životem = v 80. místnosti mám alespoň 1 život a nevyberu si tam zlé dveře, vyhrál jsem.
(Pokud předčasně neselžu, vykonám 80 voleb.)

Snažím se najít vzorec pro výpočet pravděpodobností výhry v závislosti na počtu životů.

Krajní případy:
81 životů => 100 %
1 život => [mathjax](\frac{3}{4})^{80}[/mathjax]


Kdybych měl na začátku 4 životy, pak můžu vybrat zlé dveře
nulakrát nebo jednou nebo dvakrát nebo třikrát
dílčí pravděpodobnosti:
0x) [mathjax](\frac{3}{4})^{80}[/mathjax]
1x) [mathjax](\frac{3}{4})^{80-1}\cdot (\frac{1}{4})^{1}[/mathjax]
2x) [mathjax](\frac{3}{4})^{80-2}\cdot (\frac{1}{4})^{2}[/mathjax]
3x) [mathjax](\frac{3}{4})^{80-3}\cdot (\frac{1}{4})^{3}[/mathjax]
Celková pravděpodobnost je součet dílčích pravděpodobností.
[mathjax]\sum_{i=0}^{4–1} ( (\frac{3}{4})^{80-i}\cdot (\frac{1}{4})^{i})[/mathjax]


Obecný vzorec, kde x označuje počet životů na začátku
[mathjax]\sum_{i=0}^{x–1} ( (\frac{3}{4})^{80-i}\cdot (\frac{1}{4})^{i})[/mathjax]
nevím, jestli sem to v latexu napsal správně → pro jistotu obrázek