#1 28. 04. 2022 22:16
- LenkaKabarová
- Zelenáč
- Příspěvky: 23
- Reputace: 0
Elementární symetrické polynomy - důkaz
Prosím o pomoc s touto úlohou:
Dokažte, že pro elementární symetrické polynomy v n neurčitých platí: [mathjax]{\sigma_{1}}^2≥3{\sigma_{2}}[/mathjax].
Návod: Využijte, že platí [mathjax](x_{1}-x_{2})^{2}+ ... +(x_{n}-x_{1})^{2}≥0[/mathjax].
Vůbec nevím, jak postupovat. Vím, že [mathjax]{\sigma_{1}}=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}[/mathjax] a [mathjax]{\sigma_{2}}=x_{1}x_{2}+...+x_{n-1}x_{n}[/mathjax]. Ale jak v tomto případě postupovat, moc netuším.
Offline
#2 29. 04. 2022 09:12
Re: Elementární symetrické polynomy - důkaz
↑ LenkaKabarová:
V [mathjax]\sigma_2[/mathjax] bych ocekaval jeste clen [mathjax]x_nx_1[/mathjax]. Ja bych proste pouzil Youngovu nerovnost [mathjax]xy\leq\frac12(x^2+y^2)[/mathjax]:
[mathjax]3\sigma_2=2\sigma_2+(x_1x_2+\ldots)\leq2\sigma_2+(x_1^2+x_2^2+\ldots)=(x_1+x_2+\ldots)^2=\sigma_1^2[/mathjax],
kde [mathjax]\frac12[/mathjax] z Youngovy nerovnosti se pokratila, protoze kazdy clen [mathjax]\frac{x_i^2}2[/mathjax] se objevi dvakrat.
Offline
#3 29. 04. 2022 14:40 — Editoval laszky (02. 05. 2022 15:09)
Re: Elementární symetrické polynomy - důkaz
↑ LenkaKabarová:
Ahoj, predpokladam, ze elementarni symetricke polynomy jsou definovany takto:
[mathjax] \sigma_1=\sum_{i=1}^n x_i [/mathjax]
[mathjax] \sigma_2=\sum_{1\leq i<j\leq n} x_ix_j [/mathjax]
Pak nerovnost [mathjax] \sigma_1^2 \geq 3\sigma_2 [/mathjax] obecne neplati.
Je-li napr. [mathjax] n=4[/mathjax] a [mathjax] x_i=1 [/mathjax] ziskame [mathjax] \sigma_1=4 [/mathjax] a [mathjax] \sigma_2=6 [/mathjax]. Ale [mathjax] 4^2 \not \geq 3\cdot6 [/mathjax]
Podle me plati
[mathjax] \sigma_1^2 \geq \frac{2n}{n-1}\sigma_2 > 2\sigma_2 [/mathjax]
EDIT:
Offline
#4 29. 04. 2022 22:33
- LenkaKabarová
- Zelenáč
- Příspěvky: 23
- Reputace: 0
Re: Elementární symetrické polynomy - důkaz
↑ laszky:
No, tak to je zajímavé, díky.
Jen nevím, jestli se dá takto za polynom dosadit konkrétní hodnota, nikdy jsme to v těchto úlohách se symetrickými polynomy nedělali. A taky využíváš toho, že i=j, ne?
Offline
#5 01. 05. 2022 15:56
- LenkaKabarová
- Zelenáč
- Příspěvky: 23
- Reputace: 0
Re: Elementární symetrické polynomy - důkaz
↑ Bati:
Díky za tip, ale Youngovu nerovnost všude vidím definovanou jen pro dvě čísla, ještě ke všemu nezáporná, nevím, jestli se to takto dá korektně aplikovat :)
Offline