Matematické Fórum

↑ LenkaKabarová:

Ahoj,

očísluj si vrcholy krychle mocninami dvou:



a můžeš očíslovat všechny možné řezy, které neprocházejí žádným vrcholem, tak, že "sečteš" všechny vrcholy, do kterých se po hranách dostaneš z vrcholu A tak, že nepřelezeš rovinu řezu. Červený řez má tedy  2^0+2^1+2^3+2^4+2^5=59. 

Všech možných součtů je 256. Extrémní hodnoty - 0; 255 - se nepodaří (nebyl by to řez), takže všech možných hodnot, a tím všech možných řezů, je 254.

Je ovšem otázka, co považovat za řezy ""různé". Když v předchozí situaci začneš počítat z vrcholu C, dostaneš 2^2+2^6+2^7=196 = 255 - 59. Liší se to jenom tím, která část krychle má být odstraněna. Pokud to nechceš rozlišovat, pak hodnoty h, 255 -h určují jeden a tentýž řez a řezů je tak jenom 127.

Trojúhelníkových řezů , které odřezávají jenom jeden vrchol, je osm. Rozlišovat je, nebo ne? Když nerozlišovat, pak jen 127-7... Atd, atd.

Řezy, které procházejí nějakým vrcholem, by se pak musely připočíst nějak zvlášť , ale to už by nemusel být takový problém...

↑ LenkaKabarová:
Ahoj, takže chceš rozlišovat dva řezy, z nichž jeden jde vnitřkem hrany a druhý jejím vrcholem? Např. na tom obrázku jde o řezy 7 a 13.
A nechceš rozlišovat stejný tvar řezu týkající se jiných vrcholů? Např. kdybych trojúhelníkovým řezem (viz obr. 13) namísto vrcholu B odřízl vrchol A, tak jde o stejný řez?

↑ check_drummer:

To, co jsem napsal, je původně algoritmus na průnik krychle a plochy f(x,y,z)=0. Vrchol přičti právě tehdy, když f>0, (anebo zrcadlově f<0). Vykresluje to plochu f=0, když její detaily nejsou menší než krok v jednotlivých osách.

Rovina by se takto vykreslila taky, jenom jsem neuvážil, že v tom případě by program některými větvemi určitě neproběhl. 

Takže beru zpět :-(

↑ LenkaKabarová:

↑ check_drummer:

A co to zkusit takto:

řez odřeže jeden vrchol a žádným neprochází
řez odřeže jeden vrchol a jedním prochází
řez odřeže dva vrcholy a žádným neprochází
řez odřeže dva vrcholy a jedním prochází
řez odřeže dva vrcholy a dvěma prochází
.......

Anebo možná líp:

řez prochází

třemi hranami
čtyřmi hranami
pěti hranami
...

(vrchol = tři hrany)


Anebo ještě jinak:

Řezy jsou celkem jen čtyři: trojúhelník až šestiúhelník.

Otázkou je, podle čeho a zda vůbec řezy rozlišovat dál. Určitě je nelze rozlišovat shodností - to by jich bylo nekonečně mnoho.

Jednotlivé  n-úhelníky lze rozlišit např. podle toho, kolika vrcholy procházejí.  Ale možná i jinak. To by chtělo nějak upřesnit...

Napadá mě trochu těžkopádný postup: Budu rozlišovat případy, kolik vrcholů řez zcela odřízne (a neprochází těmito vrcholy) - ty označme X - a jako podpřípady počty vrcholů, kterými ten řez projde - ty označme Y. (Teď koukám, že to navrhoval už Eratosthenes.)

Stačí zkoumat X do mohutnosti max 4, v opačném případě budeme uvažovat řez "doplňkový".
Co lze podle mě dokázat:
Vrcholy z X musí být spojeny souvisle hranami a každý vrchol z Y musí být hranou napojen na nějaký vrchol z X.
Pro |X|=1 je |Y|=3 a pro |X| z {2,3,4} je |Y|=4.
Pro |X|=2 lze ukázat, že v řezu nemohou být ani právě 3 vrcholy z Y ani právě 2 vrcholy z Y, které jsou "diagonálně".
Pro |X|=4 zjistíme že nemůže být |Y|>0, jinak doplňový řez bude některý z již uvažovaných řezů. Ale máme dva možné tvary X - 4 ležící v jedné stěně a 3 vrcholy spojené hranou s jedním vrcholem
Pro |X|=3 leží tři z vrcholů z Y v rovině rovnoběžné s rovinou X - a jen jeden z těchto tří vrcholů může být v řezu přítomen.
Označme (p,q) počet řezů pro |X|=p |Y|=q, pak je:
(1,0)=1, (1,1)=1, (1,2)=1, (1,3)=1
(2,0)=1, (2,1)=1, (2,2)=2, (2,4)=1
(3,0)=1, (3,1)=1, (3,2)=1
(4,0)=2
a dohromady je to 14.
Ale je to těžkopádné...

↑ LenkaKabarová:
Zmizel odkazovaný obrázek, nemůžu pátrat dál. :-)