Matematické Fórum

mmmmario · 11. 06. 2009 11:36

Poradíte mi někdo jak spočítat integrál $\int{\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{x}\,\mathrm{d}x}$ .

Pavel Brožek · 11. 06. 2009 12:01

Tady by měla pomoct Eulerova substituce.

mmmmario · 24. 06. 2009 01:02

Tak jsem na to dneska vlítnul a mám tohle:

$\int\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{x}\,\mathrm{d}x \nl Euler\left\{ \sqrt{x^2+2x+2}=xt+\sqrt2 \nl x=\frac{2\sqrt2t-2}{1-t^2} \nl \mathrm{d}x=2\frac{\sqrt2t^2-2t+\sqrt2}{(1-t^2)^2} \nl \sqrt{x^2+2x+2}=xt+\sqrt2=\frac{\sqrt2t^2-2t+\sqrt2}{1-t^2} \right. \nl \int \underbrace{\frac{\sqrt2t^2-2t+\sqrt2}{1-t^2}}_ {\sqrt{(\ldots)}} \cdot \underbrace{\frac{1-t^2}{2\sqrt2t-2}}_ {\frac{1}{x}} \cdot \underbrace{\frac{2\sqrt2t^2-4t+2\sqrt2}{(1-t^2)^2}\,\mathrm{d}t}_ {\mathrm{d}x}= \nl =\int\frac{(\sqrt2t^2-2t+\sqrt2)^2}{(\sqrt2t-1)(1-t^2)^2}\,\mathrm{d}t$

Parciální zlomky?

Marian · 24. 06. 2009 10:50

↑ mmmmario:
Lze postupovat také takto:
$I:=\int\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{x}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\sqrt{(x+1)^2+1}}{x}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\sqrt{t^2+1}}{t-1}\,\mathrm{d}t.$
Nyní se zavede substituce t=tan(z). Až na absolutní hodntu (vlivem odmocnění druhé mocniny) platí
$I=\int\frac{\frac{1}{\cos z}\cdot\frac{1}{\cos ^2z}}{\tan z-1}\,\mathrm{d}z=\int\frac{\frac{1}{\cos ^2z}}{\sin z-\cos z}\,\mathrm{d}z .$
Takže toto lze spočítat také pomocí goniometrických substitucí. Eulerovy substituce dávají asi výsledek rychleji.

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2009 11:36

Nevím si rady s integrálem

#2 11. 06. 2009 12:01

Re: Nevím si rady s integrálem

#3 24. 06. 2009 01:02

Re: Nevím si rady s integrálem

#4 24. 06. 2009 10:50

Re: Nevím si rady s integrálem

Zápatí