Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 06. 2022 07:55

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4711
Reputace:   221 
 

Valivý pohyb

Zdravím,

uvažme následující situaci

https://i.imgur.com/DgVaOB5.jpg

Podle článku z Wikipedie můžu tento pohyb ovažovat za otáčivý podle podle bodu C. Tím pádem vyjde úhlová rychlost 8 rad/s a úhlové zrychlení nulové. Rychlost bodu D bude [mathjax]v_A\sqrt2[/mathjax] a [mathjax]v_b=0[/mathjax]. Velikosti zrychlení dopočítám jako [mathjax]a_X=\omega^2|CX|[/mathjax],
což mi dá [mathjax]a_A=8^2*0,15=9,6[/mathjax] m/s^2. To mi přijde divné, vždyť bod A se pohybuje rovnoměrně přímočaře, takže jeho zrychlení by mělo být nulové, ne?


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#2 09. 06. 2022 13:16 — Editoval Richard Tuček (09. 06. 2022 13:20)

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 666
Reputace:   
Web
 

Re: Valivý pohyb

↑ byk7:
Bod na obvodu kola koná pohyb rovnoměrný přímočarý a rovnoměrný pohyb po kružnici. Opisuje křivku zvanou cykloida.
omega=vA/R=1,2/0,15
Obvodová rychlost je stejná jako posuvná (podmínka valení).
Rychlost horního hřebene bude: r*omega=(r/R)*vA  + vA

Bod C je v tom okamžiku v klidu, bod naproti nahoře jede rychlostí 2*va

Je to podobné jako s pásem u pásáku: Jede-li pásák rychlostí v, horní část pásu se pohybuje rychlostí 2*v, dolní část je v klidu (vzhledem k zemi)

Offline

 

#3 09. 06. 2022 14:05

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4711
Reputace:   221 
 

Re: Valivý pohyb

Jo jasně, asi jsem chtěl napsat, že [mathjax]v_C=0[/mathjax] nebo [mathjax]v_B=2[/mathjax], už nevím.

Každopádně co s tím zrychlením?


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 09. 06. 2022 14:41

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 666
Reputace:   
Web
 

Re: Valivý pohyb

↑ byk7:
Při rovnoměrném pohybu po kružnici je vektor zrychlení kolmý na vektor rychlosti a směřuje do středu (dostředivé zrychlení)
Platí: a=r*omega^2

Offline

 

#5 09. 06. 2022 15:36

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4176
Reputace:   111 
 

Re: Valivý pohyb

Myslím, že problém je hlavně s tou představou, že se něco otáčí kolem bodu C. Je sice pěkné, že se tak dá spočítat okamžitá rychlost bodů valícího se tělesa (což je do jisté míry kouzelné), ale ten bod C je takový virtuální, vykonstruovaný. Není spojený s žádným z těch analyzovaných těles.

Já přesně nevím, v čem je ten problém, ale jisté je, že těleso se neotáčí kolem bodu C, nýbrž kolem bodu A, a k tomu ještě vykonává posuvný pohyb (můžeme přímo říct, že bod A vykonává posuvný pohyb). Pak s tím žádný problém není. To asi každý chápe.

Když použiju svoji "matematickou intuici", tak bych řekl, že problém je v tom, že představa rotace podle bodu C je prostě aproximace prvního řádu. Protože když se to otočí o nějaký malinký úhel [mathjax]\varphi[/mathjax] od nulové (kolmé) polohy,  tak se polohy ve vodorovném směru změní dle [mathjax]\sin \varphi[/mathjax] a ve svislém dle [mathjax]\cos \varphi[/mathjax].

No a v aproximaci prvního řádu použijeme sin x = x a cos x = 1. Což nám stačí pro to, aby vyšly správně ty rychlosti. Niměné pro výpočet zrychlení už musíme použít aproximaci druhého řádu (zrychlení je druhá derivace), tedy cos x = 1 - x^2/2 a to už je špatně, to už nám vychází nenulové zrychlení.

Je to jen intuice, teď nevím, jak to zformulovat korektně.

Prostě když to otočíme kolem bodu C, tak to také o malinký kousek klesne - pod rovinu, po které se to valí. Na výpočet rychlosti to vliv nemá, ale na zrychlení ano. Pokles je sice úměrný až [mathjax]\varphi^2[/mathjax], takže při prvním derivování se neprojeví, ale při druhém už ano. A správně bychom měl do toho tenhle pohyb zahrnout (jako že to musíme zase o ten kousek zvednout).

Tím končím s intuitivními představami, už se v tom začínám trochu ztrácet. Každý ví, že osa rotace je bod A a né bod C, a nebýt toho, že obvodové rychlosti vypočítané správně (tj. sečtením obvodových rychlostí rotace a posuvného pohybu) vycházejí stejné, jako při představě rotace kolem bodu C, nikoho by ani nenapadlo předpokládat, že se to točí kolembodu C.

Když na to budeme koukat ze soustavy, jež se pohybuje stejně rychle jako střed A, tak uvidíme čistou rotaci (kolem bodu A) a žádná rotace kolem C nám ani nepřijde na mysl.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson