Matematické Fórum

jelena · 24. 06. 2009 15:36 — Editoval jelena (24. 06. 2009 18:36)

↑↑ Rumburak:

Děkuji za upozornění - já to překontroluji a opravím - je tam součín, ten jsem přehledla - omluva a děkuji.

Edit - opraveno, je to v pořádku? děkuji

Edit 2: děkuji i za kontrolu i za "čitatel" - všechno opravim. V mém případě to není žádné riziko - že bych někdy dělala zkoušku nebo něco podobného - to určitě nehrozí. Zřejmě jsem včera (dnes v nočních hodinách měla "dobrý den" :-)

flacon · 24. 06. 2009 15:39

↑↑ Rumburak:

jak jsi prosím přišel na to že $\,\frac {\partial}{\partial y}\,\frac{-x+y+2}{z}$ je tohle $\, \frac {z \,-\, \frac{\partial z}{\partial y}}{z^2}$

Rumburak · 24. 06. 2009 16:02

↑ flacon:
Zapomeňme na chvíli, že jde o parciální derivaci. Pro derivaci podílu funkcí u, v platí (za přiměřených předpokladů) vzoreček
$(\frac {u}{v})^{\prime} = \frac {u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ (věta o derivaci podílu dvou funkcí), ten nutno použít i zde, a sice na funkce u(y) = -x+y+2 , v(y) = z(x,y).
(Derivujeme podle y , takže na x pohlížíme jako na konstantu.)

Rumburak

↑ jelena:

jelena napsal(a):
... a odsud vyjadrim druhou derivaci po x

$z^{{\prime}{\prime}}=-\frac{2+2(z^{\prime}\cdot z^{\prime})}{2z}=-\frac{1+(z^{\prime})^{2}}{z}$ , na závěr misto 1. derivace v jmenovateli dosadim $z^{\prime}=\frac{4-2x+2y}{2z}$

Snad OK. To $z^{\prime}=\frac{4-2x+2y}{2z}$ bych ale raději dosazoval do 1. derivace v ČITATELI (případně ještě po vykrácení). :-)

flacon · 24. 06. 2009 16:26

↑ Rumburak:

takže zderivuju $\,\frac{-x+y+2}{z}$ podle vzorce $(\frac {u}{v})^{\prime} = \frac {u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ a jak můžu derivovat podle y když tohle není parciální derivace ale normální?

Rumburak

↑ flacon:
Když počítáme parciální derivaci (dejme tomu podle y), pak ostatní proměnné, podle kterých NEderivujeme, považujeme v tu chvíli za konstanty
a vnímáme pak funkci jako funkci té jedné proměnné, podle které derivujeme. Při tomto pohledu vlastně "normálně" derivujeme funkci jedné proměnné
(tedy v tomto případě funkci proměnné y).

Derivujeme například podle y funkci f(x,y). Položíme u(y) = f(x,y) , tj. na x jsme teď zapomněli jako na proměnnou a vnímáme ji jen jako označení
určité konstanty, která v předpise pro funkci u(y) vystupuje vedle její proměnné y. Najdeme derivaci fce u (podle y, neboť to je PRO TUTO CHVÍLI
jediná proměnná ve funkci u) a teprve až máme výsledek, vzpomeneme si, že symbol x (pokud se ve výsledku ještě vyskytuje) rovněž představuje proměnnou,
takže získaný výsledek je obecně opět funkci proměnných x, y , a tuto funkci nazýváme parciální derivací fce f podle y.

flacon · 24. 06. 2009 17:19

↑ Rumburak:

Já vím co je to parciální derivace, jenomže nevím jak zderivovat funkci z(x,y) třeba podle y. Kdybych měla třeba funkci z(x,y)= 2x+3y a měla bych to zderivovat třeba podle y tak by to bylo 3. Ale u funkce z(x,y) nevím co tam vlastně mám derivovat, protože nevím, čemu se to rovná z(x,y)= ???

Rumburak

↑ flacon:
Především se omlouvám za chybu ve vzorci pro $\frac {\partial}{\partial y} \frac {\partial z}{\partial x}$ (příspěvek č. 22) - vypadla mi tam závorka představující funkci "u" - již jsem to opravil.

Nyní ku Tvému dotazu:
Předpis pro implicitní funci z(x,y) obecně neznáme, takže ani nemůžeme spočítat její derivace obvyklým - to znamená přímým - způsobem.
Můžeme je ale spočítat oklikou, a sice z rovnice $F(x,y,z(x,y)) = \text{const}$ tím, že tuto rovnici zderivujeme a získáme tak rovnice
$F_x + F_z z_x = 0$ , $F_y + F_z z_y = 0$ (index značí, že jde o derivaci dle proměnné uvedené v indexu) s neznámými $z_x$ , $z_y$ .
Za předpokladu, že $F_z \ne 0$ , můžeme tyto rovnice řešit a máme jekés-takés vyjádření parc. derivací fce z. Výsledek tohoto řešení je jedním z tvrzení
věty o implicitní funkci, viz též můj příspěvek č. 17. Toto vyjádření není zcela explicitní, derivace fce z obecně závisejí prostřednictvím funkcí F_x, F_y, F_z,
na hodnotách funkce z, ale je to lepší než nic, v počátečním bodě, kde hodnota fce z je od počátku známa, není vůbec žádný problém.

Podařilo se to vyjasnit ?

flacon · 25. 06. 2009 19:16

↑ Rumburak:

jo díky, už to docela chápu a ještě jednou moc děkuju za ochotu

Rumburak

↑ flacon:
Ještě připojím jednu poznámku. Jde o typickou úlohu na procvičení věty o impl. fci (proto jsem ve svých návodech tuto linii respektoval),
avšak v tomto případě se dá řešit z velké části i bez této věty:
Položíme $A = [3,1,1], \, F(A) = B, \, w = z^2$ . Z rovnice $x^2+2y^2+w-2xy-4x+2y+4 = B$ , jejíž splnění má být
funkcí $w(x,y) = z^2(x,y)$ zajištěno, vyjádříme $w = w(x,y) = B-(x^2+2y^2-2xy-4x+2y+4), \,\, z(x,y) = \sqrt{w(x,y)}$ ,
přičemž k vyjádření fce z(x,y) odmocninou z fce w(x,y) nás opravňuje skutečnost, že impl. funkce z(x,y) je spojitá (jak říká věta o i.f.)
a v bodě [3,1] a tudíž i v jistém jeho okolí je kladná.

Vlastnosti fce z(x,y), které máme za úkol ověřit, stačí vyšetřovat početně jenodušším způsobem prostřednictvím fce w(x,y) , neboť platí
(1) bod [3,1] je stacionárním bodem buďto obou těchto funkcí, nebo žádné z nich (ježto $\frac {\partial w}{\partial ...} = 2z\,\frac {\partial z}{\partial ...}$ , přičemž hodnota z(3,1) je nenulová),
(2) lokální extrém v tomto bodě mají opět buďto obě tyto funkce (a sice extrémy téhož druhu), nebo žádná z nich (ježto růst resp. pokles fce z(x,y)
má za následek růst resp. pokles funkce w(x,y)).

Můžeme tedy místo implicitní fce z(x,y) derivovat explicitní fci w(x,y).