Matematické Fórum

Pokud je [mathjax]C=0[/mathjax], jde o lineární rovnici, což je snadné (nebudu rozebírat).
Pokud je [mathjax]C\ne 0[/mathjax], jde o kubickou rovnici [mathjax]Cx^3+(A+B+D)x-y=0[/mathjax], která v obecném tvaru vůbec nemá hezká vyjádření podmínek pro počet řešení, ani hezká vyjádření pro [mathjax]x[/mathjax].
Takže jde to, ale pro ruční zpracování to obecně nemá smysl (pro konkrétní hodnoty už by to šlo). Pokud bys to chtěl zadat jako nějaký obecný vzorec do počítače, můžeme to rozebrat dál.

↑ Joe Hallenbeck:
Pokud jde jen o graf, vykreslil bych v nějakém softwaru (např. GeoGebra) původní funkci y(x) v závislosti na posuvnících A, B, C, D a k ní bych vytvořil graf inverzní funkce (přes osovou souměrnost dle y = x).
V případě, že se očekává právě jeden kladný kořen, přičemž existují další dva nekladné, by vyjádření bylo docela snesitelné:
[mathjax]x=\sqrt{\frac{4(A+B+D)}{-3C}}\cdot \cos \left( \frac{1}{3}\arccos \sqrt{\frac{-27CY^2}{4(A+B+D)^3}}\right)[/mathjax]
Jsou nějaká (chemická) omezení pro možné hodnoty A, B, C, D, y? Pak by se možná rozumně vyřešily všechny reálné situace.
Edit:
Pokud by bylo jen jedno reálné řešení, pak by vyjádření bylo:
[mathjax]x=\sqrt[3]{\frac{y}{2C}+\sqrt{\frac{y^2}{4C^2}+\frac{(A+B+D)^3}{27C^3}}}+\sqrt[3]{\frac{y}{2C}-\sqrt{\frac{y^2}{4C^2}+\frac{(A+B+D)^3}{27C^3}}}[/mathjax]

↑ Joe Hallenbeck:
V tom případě je to ten druhý předpis se třetími odmocninami, možná lépe takto:
[mathjax]x=\sqrt[3]{\frac{y}{2C}+\sqrt{\left(\frac{y}{2C}\right)^2+\left(\frac{A+B+D}{3C}\right)^3}}+\sqrt[3]{\frac{y}{2C}-\sqrt{\left(\frac{y}{2C}\right)^2+\left(\frac{A+B+D}{3C}\right)^3}}[/mathjax]
Mimochodem, co vyjadřuje to y?

↑ Joe Hallenbeck:
To není potřeba, jen jsem se chtěl ujistit, že y je také nějaká konstanta, která vstupuje do výsledného vzorce.

Pokud jde jen o graf tak ten je přece stejný ať už je nezávislá proměnná x nebo y, maximálně je “převrácený”

↑ surovec:
Děkuji!
Mohu se zeptat, jak jste na to přišel? Rád bych pochopil jak to funguje. :-)

↑ MichalAld:
Děkuji za odpověď :-)

No dal jsem to sem z neznalosti hloubky problematiky a za to se upřímně omlouvám.

Newtonovu metodu "znám", sice jsem nikdy nepátral do hloubky jak funguje, ale využíval jsem jí při hledání řešení nelineárních regresních modelů na naměřená experimentální data - viz řešitel v Excelu 2007, a nebo Matlab. Matlab má ve statistickém balíčku, pro hledání řešení (ne)lineárních regresních modelů metodou nejmenších čtverců, vícero metod (algoritmů), například i Marquardtovu, přesněji Levenberg-Marquardtovu metodu (algoritmus). Přiznám se ale, že úplně nevím, čím se konkrétně jednotlivé algoritmy liší, tak do hloubky jsem to nikdy nestudoval.

Jsem chemik a z matematiky řeším většinou diferenciální rovnice a tento problém mi sice ležel v hlavě už delší dobu, ale nikdy jsem se nepustil do jeho řešení. Až nyní, při řešení rovnováh, jsem na něj opět narazil. Pokud je to možné, budu rád, když se téma přesune do vysokoškolské matematiky kam zjevně patří.

↑ Joe Hallenbeck:

Newtonova metoda je celkem hezky a jednoduše popsána tady, včetně celkem srozumitelné animace.

Pokud má křivka správný tvar, tak to konverguje velmi rychle, pro praktické použití stačí pár kroků. Podmínka je, že dokážeme spočítat derivaci té funkce, což je u polynomů brnkačka.

Na druhou stranu, za jistých podmínek to k výsledku nekonverguje. U polynomů to asi nehrozí, ale obecně se na to musí dávat pozor.

Existuje samozřejmě plejáda různých jiných metod, jak řešit rovnice typu f(x) = 0, každá má své výhody a nevýhody. Úplně nejjednodušší je asi metoda půlení intervalu.

Pokud najdeme dvě x taková, že f(x1) > 0 a f(x2) < 0, prostě "nalevo" a "napravo" od průsečíku s osou, tak nové x3 umístíme přesně mezi ty dvě původní x1 a x2, a podle toho, jestli je f(x3) větší či menší než 0 vybereme jeden z těch dvou intervalů, a celý proces opakujeme...

Není k tomu třeba nic víc než umět vypočítat tu funkci f(x), a 10 kroků nám stačí k tomu, abychom výsledek zpřesnili 1000-krát. Takže pro běžné použití úplně v poho.

↑ surovec:
Těžko říct. Analytické řešení má svůj půvab, protože se dá udělat v písmenkách, což může být někdy docela důelžité.

Ale jinak - když už bych to musel řešit, sehnal bych si nějakou knihovnu, která kořeny polynomů dokáže hledat, a bylo by mi celkem jedno, jak to dělá.

Zajímavějším se to stává, když je to třeba řešit v reálném čase. Jenže i tam mohou numerické metody snadno vyhrát, protože výpočet té odmocniny je pro procesor docela problematický, a o třetí odmocnině ani nemluvě. Zatímco při numerickém řešení potřebuje člověk nanejvýš dělení (případně, při použití jednodušších metod, jen sčítání a násobení).

Já netvrdím, že numerické řešení je lepší, ale je spíš univerzálnější. Ony se rovnice 3. stupně vyskytují dost zřídka, většinou lze problém buď zjednodušit až na rovnici stupně 2 (základní věta techniky - vše lze zjednodušit až na kvadratickou rovnici, či lin. dif. rovnici 2. řádu), a nebo to popisuje rovnice složitější, kterou stejně jinak než numericky řešit nejde.

Že zrovna tady vychází kubická rovnice, a ještě s jedním reálným řešením je spíš taková rarita.

Taky by se mělo prověřit (než to člověk začne používat pro výpočet) jestli u takto komplikovaných vzorců nemůže docházet k nějakým zaokrouhlovacím chybám, to je takový dost nepříjemný problém.

↑ Joe Hallenbeck:

Ahoj, takéto niečo by sa asi žiadalo popísať analyticky.


https://www.researchgate.net/figure/Dis … _327712938


(To sú krásne krivky.)

surovec napsal(a):

↑ Joe Hallenbeck:
V tom případě je to ten druhý předpis se třetími odmocninami, možná lépe takto:
[mathjax]x=\sqrt[3]{\frac{y}{2C}+\sqrt{\left(\frac{y}{2C}\right)^2+\left(\frac{A+B+D}{3C}\right)^3}}+\sqrt[3]{\frac{y}{2C}-\sqrt{\left(\frac{y}{2C}\right)^2+\left(\frac{A+B+D}{3C}\right)^3}}[/mathjax]
Mimochodem, co vyjadřuje to y?

Takže chápu-li dobře, tak Cardanův vzorec funguje pro tuto rovnici:

[mathjax]
y=\text{A}\cdot{x}+\text{B}\cdot{x}+\text{C}\cdot{x}+\text{D}\cdot{x}^{3}+\text{E}\cdot{x}+\text{F}\cdot{x}+\text{G}\cdot{x}+\text{H}\cdot{x}
[/mathjax]

takto?:
[mathjax]x=\sqrt[3]{\frac{y}{2D}+\sqrt{\left(\frac{y}{2D}\right)^2+\left(\frac{A+B+C+E+F+G+H}{3D}\right)^3}}+\sqrt[3]{\frac{y}{2D}-\sqrt{\left(\frac{y}{2D}\right)^2+\left(\frac{A+B+C+E+F+G+H}{3D}\right)^3}}[/mathjax]

No, první krok jak si zjednodušit život je ten, že rovnici typu

[mathjax]y=Ax + Bx + Cx + Dx + Ex + ...[/mathjax]

si převedeš na rovnici

[mathjax]y=Px + ...[/mathjax]

kde to nové písmeno P je součet těch původních A+B+C+D+E...

A až najdeš řešení, tak si to tam můžeš zase zpátky napsat.