Matematické Fórum

↑↑ Joe Hallenbeck:
Ukážu ti 2postupy řešení (se stejným výsledkem)
Máme tedy rovnici 3.stupně tvaru
[mathjax]y=Ax^{3}+Bx+Cx+Dx+...Kx[/mathjax] kde [mathjax]A,y>0,B+C+D+...K=M>0[/mathjax]
Řešením rovnice když A=0 nebo M=0 se nebudeme zabývat, protože řešení je triviální.
Rovnici přepíšeme na tvar
[mathjax]x^{3}+3\frac{M}{3A}x+2\frac{-y}{2A}=x^{3}+3p+2q=0[/mathjax]
a tedy [mathjax]p=\frac{M}{3A}>0,q=-\frac{y}{2A}<0[/mathjax]
Takováto rovnice 3.stupně má 1 kořen reálný a 2 kořeny komplexně sdružené. Nás bude zajímat pochopitelně ten reálný kořen.
1.způsob
zavedeme substituci [mathjax]x=u-\frac{p}{u}[/mathjax]
Po dosazení a úpravách dostaneme rovnici
[mathjax](u^{3})^{2}+2qu^{3}-p^{3}=0[/mathjax]
řešením této kvadratické rovnice je
[mathjax]u^{3}=-q\pm \sqrt{q^{2}+p^{3}} [/mathjax] (před odmocninou bereme +, ale můžeme vzít i -)
Pak tedy [mathjax]x=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}-\frac{p}{\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}[/mathjax]

[mathjax]x=\sqrt[3]{\frac{y}{2A}+\sqrt{(\frac{y}{2A})^{2}+(\frac{M}{3A})^{3}}}-\frac{M}{3A}\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{y}{2A}+\sqrt{(\frac{y}{2A})^{2}+(\frac{M}{3A})^{3}}}}[/mathjax]
2.způsob
Řešení pomocí hyperbolických funkcí
pro p>0 a q<0 zavedeme [mathjax]r=-\sqrt{p}[/mathjax] a [mathjax] \sinh\varphi =s=\frac{q}{r^{3}}=\frac{-q}{p^{\frac{3}{2}}}[/mathjax]
a řešení [mathjax]x=-2r\,\sinh\frac{\varphi }{3}[/mathjax]
Protože [mathjax]\frac{\varphi}{3} =\frac{1}{3}arg\sinh s=\ln \sqrt[3]{s+\sqrt{s^{2}+1}}=\ln (\frac{1}{\sqrt{p}}\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}})[/mathjax]
a [mathjax]\sinh z=\frac{e^{z}-\frac{1}{e^{z}}}{2}[/mathjax] a [mathjax]e^{\ln z}=z[/mathjax]
dostaneme
[mathjax]x=\sqrt{p}(\frac{1}{\sqrt{p}}\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}-\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{p}}\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}})
[/mathjax]
a nakonec [mathjax]x=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}-\frac{p}{\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}
[/mathjax]
což je stejné jako u způsobu 1.