Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#2 05. 09. 2022 19:06 — Editoval MichalAld (05. 09. 2022 19:09)
Re: ODE without initial condition
Důkaz teda vymyslet asi nedokážu, ale selským rozumem ... pro x=0 se to zredukuje na f(x)=0, takže tam je to jasné.
No a pro nějaké malé x, třeba dx, musí být f(dx) kladné a dx*f'(x) záporné, nebo naopak. Což ale není možné splnit, protože
f'(x) * dx = d f(x) = f(dx) - f(0) = f(dx)
a my bylchom potřebovali aby platilo f'(x) * dx = -f(dx)
(ten jmenovatel je pořád kladný, takže na znaménko nemá vliv).
Takže v bodě dx je jediné možné řešení že f(x) = f'(x) = 0. A můžeme pokročit o další dx.
Ale tohle matematici asi za důkaz nepovažují...ale prostě, funkce nemůže být z nuly rostoucí a zároveň dosáhnout záporných hodnot...
Offline
#3 05. 09. 2022 19:57
- check_drummer
- Příspěvky: 4891
- Reputace: 105
Re: ODE without initial condition
Ahoj, a nestačísi všimnout, že pro kladná x má f' opačné znamenénko než f a pro záporná x mají stejné znaménko? Neplyne pak požadované z f(0)=0?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#4 06. 09. 2022 10:05
Re: ODE without initial condition
↑ MichalAld:↑ check_drummer:
Je to v podstate tak, vase uvahy se daji formalizovat pomoci zakl. vety integralniho poctu, resp. vety o stredni hodnote. Dulezity je take odhad [mathjax]|f(x)|\leq |x|[/mathjax] primo z rovnice diky Youngove nerovnosti.
Ja jsem nedavno v jednom problemu z aplikace narazil na "nehomogenni verzi" te rovnice, tj.
[mathjax2]f(x)+\frac{2xf'(x)}{1+f'(x)^2}=g(x),[/mathjax2]
kde [mathjax]g[/mathjax] je jisty polynom (4. radu). Diky uvaham podobnym tem vasim vim, ze pokud [mathjax]c\leq g(x)\leq C[/mathjax], tak taky [mathjax]c\leq f(x)\leq C[/mathjax], ale vubec se mi nedari dopocitat nejakeho konkretniho reseni (pokud vubec existuje).
Online