Matematické Fórum

saft · 06. 09. 2022 21:33

Zdravím,

je mi studno, že se vůbec musím ptát, ale už je to pár let co jsem naposledy musel použít středoškolskou/vysokoškolskou matematiku a mozek zkrátka zapomíná...

Potřebuji spočítat hodnotu heating faktoru - integrálu dodaného tepla. Heating faktor je parametr, který při pájení v přetavovací peci udává množství tepla, které bylo dodané pájenému spoji v časovém intervalu, kdy se pájka nacházela nad teplotou tavení, viz pro ilustraci obrázek i s patřičnou obecnou rovnicí Odkaz.

Do teď jsem k tomuto parametru přistupoval pasivním způsobem - změřil jsem si teplotní profil a z něho potom pomocí specializovaného sw (krom jiného) vyčetl i hodnotu heating faktoru. Teď potřebuji opačný přístup - předem si navhrnout tu část teplotního profilu, kdy se pájka nachází nad teplotou tavení a spočítat její heating faktor. A zde jsem narazil na problém - nejsem schopen si správně vydefinovat funkci, kterou bych měl integrovat.

Určil jsem si lehce idealizovaný profil, který jsem si pro potřeby integrování rozdělil do třech částí (2x pravoúhlý trojúhelník a obdélník), viz Odkaz. Potom jsem si vzpomněl, že k funkcím pro trojúhelník se nejlépe dostanu přes směrnicový tvar přímky. Ten jsem pro první trojúhelník dostal z obecné rce přímky za pomoci bodů A a B a dostal se k rovnici y=4,2x-72. Do integrálu jsem potom dosadil meze a rovnici 4,2x-72-138 (138 je hodnota Tm) s výsledkem 210 s°C, který ze zkušenosti na první pohled není nereálný. Problém pro mě nastane v okamžiku, kdy chci stejným způsobem zjistit hodnotu druhé oblasti - obdélníku, protože zde mi jako směrnicový tvar přímky vyjde y=180. Zde jsem se zaseknul.

Rád bych požádal zdejší komunitu o pomoc s dalším postupem a o kontrolu zda k celému příkladu vůbec přistupuji správně. Díky.

MichalAld

I bez sofistikované matematiky (s využitím znalostí ze základní školy) je jasné, že obsah plochy 2 (té obdélníkové části) je (180-138)*(75-60) = 42*15=630 a obsah plochy 1 (trojúhelníkové) je (180-138)*(60-50)/2=42*10/2=420/2=210.

MichalAld · 06. 09. 2022 23:35

Pokud to chceš řešit pomocí integrálů, tak plocha 2 se spočítá jako integrál

[mathjax]S_2 = \int_{60}^{75} 180 dx - \int_{60}^{75} 138 dx=\int_{60}^{75} (180-138) dx=\int_{60}^{75} 42 dx=[42x]_{60}^{75}=42*75-42*60=42*15=630[/mathjax]

a obsah té trojúhelníkovité části

rovnice té přímky je y=138 + (180-138)/(60-50)*(x-50)=138 + 4.2 * (x-50)=138-210 + 4.2x = 4.2x - 72

a plocha tedy

[mathjax]S_1 = \int_{50}^{60} (4.2x-72) dx - \int_{50}^{60} 138 dx=\int_{50}^{60} (4.2x-72-138) dx=\int_{50}^{60} (4.2x-210) dx=[2.1x^2-210x]_{50}^{60}=...[/mathjax]

MichalAld

[mathjax]...[21(x^2/10 - x*10)]_{50}^{60}=21*(60*60/10-60*10)-21*(50*50/10-50*10)=21*((360-600)-(250-500))=21(360-250-600+500)=21*10=210[/mathjax]

Tohle už je jen počítání, nemuselo by se to dělat tak krkolomě, ale nechtělo se mi to někam ťukat, tak jsem si to musel upravit aby to šlo z hlavy.

Takže ten první výpočet máš vlastně dobře, když na to teď koukám. Minimálně ti vyšel správný výsledek.

I když se přiznám, že z fyzikálního hlediska je mi dost nejasné, co to má vlastně představovat, ten čas krát teplota.

check_drummer · 07. 09. 2022 21:32

MichalAld napsal(a):
I když se přiznám, že z fyzikálního hlediska je mi dost nejasné, co to má vlastně představovat, ten čas krát teplota.

Ahoj, ten integrál by se dal využít např. ke zjištění průměrné teploty, ale uvidíme co napíše zadavatel.

saft · 09. 09. 2022 12:26

Zdravím,

díky za odpověď, nějak jsem tam to jednoduché řešení neviděl...

Heating faktor je procesní parametr, který je definován jako množství tepla, které je dodáno do prostředí pájeného spoje v čase, kdy se pájka nachází nad teplotou tavení (jak už jsem psal výše). Toto dodané teplo má potom vliv na růst a formování intermetalických sloučenin (IMC) v prostředí pájeného spoje, kdy zejména IMC vznikající na rozhraní pájeného substrátu a pájky mají zásadní vliv na životnost pájeného spoje a tedy i celeho elektronického zařízení. Správným nastavením tohoto parametru při výrobě je tedy možno ovlivnit i kvalitu vyráběného produktu. Jelikož je složení a tloušťka IMC závislá (i) na použitých materiálech, kde je poměrně velká variace, neexistuje žádná kuchařka, která by říkala, které materiály použít a jak nastavit proces výroby aby bylo dosaženo co nejkvalitnějších pájených spojů pro výrobek, ktery bude používán v určitém prostředí, tak se na to v praxi bohužel nebere moc zřetel.

MichalAld · 14. 09. 2022 16:48

Akorát nějak nechápu jak se přišlo na to, že množství dodaného tepla je úměrné integrálu teploty. Protože ve skutečnosti je dodané teplo úměrné přímo jen teplotě.

Pokud něco ohřejeme na teplotu T, tak jestli to na ní držíme sekundu nebo deset let ... na to už žádné teplo dodávat nepotřebujeme. Jen na krytí ztrát...

Matematické Fórum

#1 06. 09. 2022 21:33

Výpočet obsahu plochy pod křivkou

#2 06. 09. 2022 23:23 — Editoval MichalAld (06. 09. 2022 23:50)

Re: Výpočet obsahu plochy pod křivkou

#3 06. 09. 2022 23:35

Re: Výpočet obsahu plochy pod křivkou

#4 06. 09. 2022 23:49 — Editoval MichalAld (06. 09. 2022 23:53)

Re: Výpočet obsahu plochy pod křivkou

#5 07. 09. 2022 21:32

Re: Výpočet obsahu plochy pod křivkou

MichalAld napsal(a):

#6 09. 09. 2022 12:26

Re: Výpočet obsahu plochy pod křivkou

#7 14. 09. 2022 16:48

Re: Výpočet obsahu plochy pod křivkou

Zápatí