Matematické Fórum

0, 1, 2, 3, 0, 0, 0, 0, …

↑ re_visor:
Myslím, že to není ekvivalentní definice limity.

Podám jednu ekvivalentní definici limity:
lim an=A právě když pro každé A1 větší než A jsou všechny členy (až na konečný počet) menší než A1
              a současně pro každé A2 menší než A jsou všechny členy (až na konečný počet) větší než A2

Děkuju za reakce, chyba byla v mém špatném pochopení části klasické definice, která říká [mathjax]\exists n_{0}\in N[/mathjax] , což jsem si vyložil (v kombinaci s ostatními částmi definice) nesprávně tak, že každý další člen je blíž k limitě než ten předchozí.

Dalo by se teda říct že v konvergentní posloupnosti jdoucí do nekonečna, existuje nekonečný počet členů [mathjax]a_{n_{0}}[/mathjax], kde o každém z nich platí, že všechny členy za nimi jsou blíž nebo stejně daleko od limity než daný člen [mathjax]a_{n_{0}}[/mathjax] ? (Tedy že ne všechny členy posloupnosti musí být takovým členem [mathjax]a_{n_{0}}[/mathjax])

↑ MichalAld:
Mně to nepřišlo jako pokuso definici limity, ale o důsledek - a dotaz, zda je tento důsledek pravdivý.

re_visor napsal(a):

Dalo by se teda říct že v konvergentní posloupnosti jdoucí do nekonečna, existuje nekonečný počet členů [mathjax]a_{n_{0}}[/mathjax], kde o každém z nich platí, že všechny členy za nimi jsou blíž nebo stejně daleko od limity než daný člen [mathjax]a_{n_{0}}[/mathjax] ? (Tedy že ne všechny členy posloupnosti musí být takovým členem [mathjax]a_{n_{0}}[/mathjax])

Podlě mě to z definice limity (nechť je tato limita L) plyne, stručně: Pokud je posloupnost od učitého členu konstantní, tak to platí. Jinak zvolím [mathjax]\varepsilon[/mathjax], tak, že nějaké [mathjax]a_i[/mathjax] nebude v intervalu [mathjax]I:=<L-\varepsilon;L+\varepsilon>[/mathjax] a od n0 odpovídající tomuto [mathjax]\varepsilon[/mathjax] budu ubírat 1 dokud nenajdu člen, který do I nepadne (nejpozději u [mathjax]a_i[/mathjax] se zastavím) - a to je hledaný člen. A dál budu postupovat stejně - přičemž budu uvažovat jen část posloupnosti nacházejcíí se jen za členem nalezeným v předchozím kroku.

Otázka je, zda to platí obráceně, tj. pokud z toho plyne, že pak má posloupnost limitu (podle klasické definice). Ale to asi neplyne. Třeba u posloupnosti jejíž sudé členy mají tvar 1/(2n) a její liché členy mají tvar -1/(2n+1)-1 a limitu "definujeme" jako -1/2. Taková posloupnost klasickou limitu nemá, ale to tvrzení splňuje.