Matematické Fórum

Ahoj, takže udělám tečnu ke grafu čas-vzdálenost. Pak spočítám směrnici. Tu udělám (delta y)/(delta x)? Zatím jsem se neučil, co to je ta směrnice, diferenciální počet jsem zatim nebral ve skole, jen vím, že by to mělo jít takhle. Říkám to správně?
Ještě bych se k tomu zeptal, neví někdo, proč to tak funguje? Jako jak to logicky odvodit, že se to takhle tečnou dělá?
Děkuju

↑ ekonomos629:

K tomu, co píše ↑ misaH: bych připojil obrázek



Průměrná rychlost za čas [mathjax]\Delta t[/mathjax] je

[mathjax]\Huge \bar{v} = \frac {\Delta s} {\Delta t}[/mathjax]

(to [mathjax]\Delta [/mathjax] znamená "změna")

V grafu je to směrnice sečny. Když zkracuješ tu změnu, máš průměrnou rychlost za stále kratší časový interval. Sečna se blíží tečně a směrnice tečny je potom podíl "nekonečně malé" změny dráhy (místo [mathjax]\Delta s[/mathjax] máš ds) děleno "nekonečně malým" časem (dt):

[mathjax]\Huge v= \frac {ds} {dt}[/mathjax]

Z fyzikálního hlediska: okamžitá rychlost je průměrná rychlost za "nekonečně malý" časový interval.

Z hlediska matematické analýzy je to derivace dráhy podle času, z hlediska geometrie je to směrnice tečny ke grafu příslušné funkce.

ekonomos629 napsal(a):

Ještě bych se k tomu zeptal, neví někdo, proč to tak funguje? Jako jak to logicky odvodit, že se to takhle tečnou dělá?Děkuju

Ono není úplně triviální se dobrat k tomu, co je to okamžitá rychlost. Ale není to zas tak hrozné ... každý intuitivně chápe, co je to konstantní rychlost, stále stejná. Takže třeba máme rychlost 100km/h, což znamená, že za hodinu ujedeme 100km, když jedeme "stále stejně".

Ale co když nejedeme hodinu, ale jenom půl hodiny? Jako v tom vtipu o blondýně - slečno, jela jste v obci 70 kilometrů za hodinu. To není možné, já jela jen deset minut...

Asi hned tušíš, jaká je odpověď. Když pojedeme půl hodiny, ujedeme jen 50 kilometrů.

Když pojedeme jen jednu sekundu, ujedeme jen necelých 28 metrů. Když jednu milisekundu, bude to jen 28 milimetrů. Atd.

No a teď vezmeme situaci, kdy se rychlost bude v průběhu jízdy trochu měnit. Pořád můžeme zjistit, že třeba za sekundu ujedeme těch 10 metrů, ale už není pravda, že za půl sekundy to bude 5 metrů. Protože rychlost se třeba mohla trochu změnit v druhé polovině jízdy.

Ale pokud budeme předpokládat, že se rychlost mění dostatečně pomalu, tak se od reality moc lišit nebudeme, protože během té sekundy se situace moc nezmění. Ale trochu přece. Takže je lepší vzít třeba tisícinu sekundy, nebo miliontinu...

Čím kratší dobu použijeme k tomu, abychom stanovili rychlost, tím méně nás bude trápit, že se rychlost mění.

No a teď už nastavá to abstraktní uvažování, které reálně udělat nemůžeme ... představíme si, že ten interval, během něhož měříme tu rychlost zkracujeme pořád a pořád ... až je nekonečně malý.


Na grafu s=s(t) to představue, že si zvolíme dva body, které propojíme čárou (to je konstantní rychlost) a budeme ty dva body přibližovat k sobě. Pořád mezi nimi musí být nějaká vzdálenost, jinak bychom jimi nemohli proložit tu přímku (na přímku potřebujeme dva body) ale můžeme je cpát pořád blíž a blíž k sobě. Což "z dálky" vypadá, jako že je to bod jeden, ve kterém se ta přímka dotýká naší křivky.

Matematikové došli (k poněkud překvapivému) zjištění, že je zpravidla mnohem jednodušší spočítat jak je ta přímka nakloněná, když jsou ty dva body nekonečně blízko u sebe, než když jsou kousek od sebe. Jen to chce trochu abstraktní teorie (zvané diferenciální, nebo infinitezimální počet - což je tady to počítání s "nekonečně malými dílky").  Ale z fyzikálního pohledu je to pořád to samé - vezmeme dva blízké body a změříme za jaký čas mezi nimi "projedeme". A jestli jsou ty body od sebe metr, nebo jsou "nekonečně blízko" nás tak nějak nemusí trápit. Při reálných měřeních stejně potřebujeme, aby mezi body nějaká vzdálenost byla.

ekonomos629 napsal(a):

Takže kdybych to shrnul, tak jsem to pochopil následovně (kdybych říkal něco špatně nebo nesmysl, opravte mě prosím):
1) okamžitá rychlost je rychlost ve velmi malém časovém rozmezí, takže třeba sekunda či pár milisekund; vlastně je to logičtější než nějaká průměrná rychlost; okamžitá rychlost by mělo být to, co se ukazuje v autě?

Nie vo velmi malom, ale nulovom. Pochopanie tejto skutocnosti je podmienene pochopenim pojmu limity funkcie v bode.

ekonomos629 napsal(a):

2) tu tečnu udělám proto, že tím spojím pár bodů blízko sebe, tedy bodů s podobnou rychlostí; pak mohu z toho dostat snadno rychlost - vydělit dráhu (y souřadnici, resp. delta y) časem (deltou x) => z toho mám “sklon” (nevím, jestli se tomu říkal sklon v matematice v češtině, studuji ji v zahraničí a tady se to nazývá “slope”, což je v doslovném překladu “sklon”)

Ano, ale to bude stale iba priemerna rychlost. Aj ked sa bude od okamzitej lisit iba o malo.

ekonomos629 napsal(a):

3) takže postup pro výpočet okamžité rychlosti by měl být následovný:
   1. Tečna v místě, kde ji zjišťujem
   2. Spočítat ten “slope” tedy deltay/deltax
   3. Slope je vlastně hodnota okamžité rychlosti (když  bude činit 1, tak to znamená 1 m za sekundu - pokud je graf pro základní jednotky těchto veličin).

Toto je skor motivacia k pojmu okamzita rychlost. K nej sa dostanes pomocou derivacie drahy podla casu.

vlado_bb napsal(a):

ekonomos629 napsal(a):

Takže kdybych to shrnul, tak jsem to pochopil následovně (kdybych říkal něco špatně nebo nesmysl, opravte mě prosím):
1) okamžitá rychlost je rychlost ve velmi malém časovém rozmezí, takže třeba sekunda či pár milisekund; vlastně je to logičtější než nějaká průměrná rychlost; okamžitá rychlost by mělo být to, co se ukazuje v autě?

Nie vo velmi malom, ale nulovom. Pochopanie tejto skutocnosti je podmienene pochopenim pojmu limity funkcie v bode.

To je taková filozofická otázka ... protože když se podíváš na definici limity, zjistíš že se tomu bodu 0 dost důsledně vyhýbá. Řeší jen všechny body které nulové nejsou (byť mají od nuly libovolně malou vzdálenost).

Ale jinak ano, chápeš to asi správně. Podle mě je lepší rychlost chápat intuitivně, než skrze matematickou definici.

A i když (i okamžitou) rychlost každý intuitivně chápe, tak může být docela problém ji měřit. Takže je otázka, co že to vlastně přesně ukazuje ten tachometr v autě. Jisté je, že když pojedeme konstantní rychlostí, tak ukazuje správnou hodnout. Ale když se rychlost mění ... tak záleží na tom, jak moc se mění. Když by se měla změnit skokem ... tak rafička tachometru určitě na stupnici neposkočí ihned, bude jí to taky nějakou dobu trvat.

Takže reálný tachometr má taky vždycky nějaké zpoždění, jen je otázka, jak je velké (spíš jak malé). Ale do důsledku vzato je okamžitá rychlost výmysl matematiků, a nevím, jestli existuje vůbec nějaký způsob, jak ji přímo měřit.

↑ MichalAld:

>> Ale do důsledku vzato je okamžitá rychlost výmysl matematiků, a nevím, jestli existuje vůbec nějaký způsob, jak ji přímo měřit

Když to bereš takto, tak i přímka je výmysl matematiků a neexistuje způsob, jak ji narýsovat....

Já nic z toho nerozporuji, fyzika je vždycky jen přiblížení, fyzika je věda o tom, jak věci zjednodušovat, abychom se něčeho dobrali.

A i když to na první pohled vypadá dost neuvěřitelně, tak tady ta myšlenka počítání s nekonečně malými věcmi (celý ten diferenciální počet) je úžasně užitečný, a ve skutečnosti je zpravidla o dost jednodušší počítat s nekonečně malými díly než s díly konečné velikosti. Pokdu to jde "analyticky".

Z filozofického hlediska mi přijde dost zajímavé, že i když je pro nás představa okamžité rychlosti či derivace taková dost abstraktní věc, a máme problém okamžitou rychlost nějak změřit, příroda ji "zná" - protože třeba síla působící na nabitou částici v magnetickém poli je úměrná rychlosti. A zpomalení chodu hodin taky. (ty dvě věci spolu mmch dost úzce souvisejí, vlastně je to jedno a to samé).

Zdravím,
potřeba matematiků pro fyziky (a naopak) je krásně zpracována ve filmu Skrytá čísla. :-)

↑ misaH:

Na druhou stranu, né všechno je tak krásné, jak na první pohled vypadá. A čím je teorie lepší, tím má těchto vad na kráse zpravidla víc, a více principiálních.

Tak jeden příklad za všechny - z teorie elektromagnetického pole. Protože tahle teorie umí pracovat jen se spojitě rozloženým nábojem. Jinak je úplně super - asi nejlépe ověřená teorie vůbec...nicméně, vše nasvědčuje tomu, že náboj není ve světě rozložen spojitě, ale že jej nesou nějaké velmi malé částice. Například elektrony.

Pokud víme, elektrony nemají vůbec žádnou vnitřní strukturu, a nic nasvědčuje tomu, že by měly nějakou velikost. Takže ideální představa je, jak se říká, bodový náboj.

Jenže s tím má teorie problém. Intenzita pole v blízkém okolí bodového náboje roste nade všechny meze. Což by možná zas tolik nevadilo ... ale ukazuje se, že v poli kolem bodového náboje by měla být nekonečná energie. To by ještě taky asi nevadilo ... ale i nekonečná hybnost. A to už je docela problém - protože hybnost se nedá jen tak skrýt...

A další, ještě větší problém je, když tuhle částici necháme vyzařovat elektromagnetickou vlnu. Stačí, když s částicí budeme kmitat nahoru a dolů, tak nám vyzařuje el. mag. vlnu. A ta vlna odnáší energii. Tudíž částice musí naší snaze s ní pohybovat klást nějaký odpor. A tenhle odpor nelze v rámci teorie vysvětlit jinak, než působením už vyzářeného el. mag. pole zpátky na částici jež jej vytvořila.

To se zase nedá provést s bodovou částicí, ale dá se to spočítat pro malou kuličku, a pak ji zmenšovat. Na vyzařování i odpor to nemá žádný vliv, když kuličku zmenšujeme až k bodu ... ale je tam člen, který se tváří jako hmotnost (nazvalo se to elektromagnetická hmotnost) - a ten zase roste až k nekonečnu pro bodovou částici.

Nikdy se nepodařilo vymyslet, jak z toho ven. Samozřejmě mnoho lidí přišlo na to, že co když elektrony jsou opravdu kuličky s nějakou velikostí. A náboj rozložený třeba na nejich povrchu. Jenže stejné náboje se rozpínají ... a ukázalo se, že aby vše fungovalo jak má, musíme do rovnic dosadit nějakou neelektrickou sílu, která je na povrchu té kuličky udrží. Takový druh síly samozřejmě nikdo nezná (dodnes).

Problém zůstává otevřený. Namísto klasické el. mag. teorie nastoupila kvantová, ale problém v trochu jiné formě přetrvává dál. Když se pokusíme něco spočítat za předpokladu, že prostor je nekonečně spojitý, a body mohou být libovolně blízké, tak to nakonec vždycky diverguje. Jediný způsob, jak se dopočítat k funkčním věcem je nedělat výpočty až do nulové vzdálenosti. Dokonce to vedlo na snahu či představu, že náš prostor má diskrétní strukturu, nějakou mřížku, ale funkční teorii z toho zatím nikdo nevytvořil.

Všichni kdož to dočetli až sem, zasluhují obdiv....

Jen jsem chtěl říct, že ta představa dělení prostoru a času na nekonečně malé dílky nemá jen světlé stránky, ale má i své problémy. Problémy, z nichž nikdo nezná cestu ven.