Matematické Fórum

Ahoj, je-li [mathjax]w\in V[/mathjax] libovolny vektor z prostoru [mathjax]V[/mathjax], na ktery delame OG prumet, a [mathjax] Pv\in V [/mathjax] hledany OG prumet, potom musi platit

[mathjax] w \cdot (Pv-v) = 0. [/mathjax]

Ve Tvem pripade splnuji vsechny vektory [mathjax]w\in V[/mathjax] rovnici

[mathjax] w\cdot (2,-1,1,C)=0. [/mathjax]

To znamena, ze musi byt [mathjax] Pv-v = k\,(2,-1,1,C) [/mathjax], tedy [mathjax]Pv = v + k\, (2,-1,1,C)[/mathjax]

Protoze ale [mathjax] Pv[/mathjax] lezi rovnez ve [mathjax] V[/mathjax], ziskas hledane [mathjax]k[/mathjax] z rovnice

[mathjax] Pv\cdot(2,-1,1,C)=0, [/mathjax]

nebo-li

[mathjax] {\displaystyle  k = -\frac{v\cdot(2,-1,1,C)}{|(2,-1,1,C)|^2} }[/mathjax]

PS: Jak v tom, co pises, tak v tom obrazku, je trochu zmatek v tech [mathjax]a[/mathjax] a [mathjax]b[/mathjax]. Zrejme napsali namisto acka becko.

↑ andyq:

Ahoj, finalni vysledek je [mathjax]Pv = v + k\, (2,-1,1,C),[/mathjax] kde za [mathjax]k[/mathjax] dosadis [mathjax] {\displaystyle  k = -\frac{v\cdot(2,-1,1,C)}{|(2,-1,1,C)|^2} }[/mathjax].

Tak tedy podrobneji. Tvym ukolem je nalezt ortogonalni (OG) prumet nejakeho vektoru [mathjax]v[/mathjax] na nejaky podprostor [mathjax]V[/mathjax] prostoru [mathjax] R^4[/mathjax].
Tento prumet si oznacime [mathjax]Pv[/mathjax]. Co musi splnovat [mathjax] Pv[/mathjax], aby se jednalo o OG prumet na [mathjax]V[/mathjax]?

1) tak urcite musi byt [mathjax]Pv\in V[/mathjax], ale taky
2) pro kazdy vektor [mathjax] w\in V[/mathjax] musi platit, ze [mathjax] \;\;w \cdot (Pv-v) = 0\;\;[/mathjax] (tj. vektor [mathjax] w[/mathjax] je kolmy (=ortogonalni) na [mathjax]Pv-v[/mathjax])

V obecnem pripade bys ted potreboval najit nejakou bazi prostoru [mathjax]V[/mathjax], vyjadrit si [mathjax]Pv[/mathjax] jako linearni kombinaci
vektoru teto baze, tj napr [mathjax] Pv=\sum_{k=1}^n\alpha_kw_k[/mathjax], tim bude splnena podminka 1). Ke splneni podminky 2)
pak potrebujes, aby bylo [mathjax] w_j\cdot(Pv-v)=0[/mathjax] pro kazde [mathjax]j=1,2,\dots,n=\dim V[/mathjax], coz lze prepsat, jako

[mathjax] {\displaystyle \sum_{k=1}^n\alpha_k (w_k\cdot w_j) = (w_j\cdot v),} \qquad [/mathjax] pro kazde [mathjax]j=1,2,\dots,n[/mathjax]

Jedna se tedy o soustavu rovnic s matici [mathjax] W_{jk}=(w_k\cdot w_j)[/mathjax], pravou stranou [mathjax]b_j=(w_j\cdot v)[/mathjax] a neznamymi [mathjax] \alpha_k[/mathjax].
Soustavu vyresis (spoctes [mathjax]\alpha_k[/mathjax]) a dosadis do [mathjax] Pv=\sum_{k=1}^n\alpha_kw_k[/mathjax]. A mas vysledek.

V tomto konkretnim pripade se lze reseni soustavy vyhout: Jelikoz je [mathjax]V[/mathjax] prostor reseni jedne linearni rovnice
v [mathjax]R^4[/mathjax], je dimenze [mathjax]V[/mathjax] rovna 3. Prostor [mathjax]V[/mathjax] ma tedy bazi tvorenou tremi vektory a vsechny tri
jsou kolme na vektor  [mathjax] (2,-1,1,C)[/mathjax], nebot [mathjax](x_1,x_2,x_3,x_4)\cdot(2,-1,1,C)=2x_1-x_2+x_3+Cx_4=0[/mathjax].

To ale znamena, ze podminka 2) bude splnena prave tehdy, kdyz bude [mathjax] Pv-v = k\,(2,-1,1,C) [/mathjax] a zbyva ti
tedy jen dopocitat tu konstantu [mathjax]k[/mathjax]. Tu urcis splnenim te podminky 1). Chces-li, aby bylo [mathjax]Pv\in V[/mathjax],
musi byt [mathjax] Pv\cdot(2,-1,1,C)=0, [/mathjax] (jak vime, to splnuji vsechny vektory z [mathjax]V[/mathjax]). To znamena, ze

[mathjax]\Bigr(v + k\, (2,-1,1,C)\Bigr) \cdot (2,-1,1,C) = 0,\quad [/mathjax] neboli [mathjax]\quad v\cdot(2,-1,1,C) + k|(2,-1,1,C)|^2=0.[/mathjax]

Z toho vyjadris hledane [mathjax]k.[/mathjax] Vysledek pak je [mathjax]Pv = v + k\, (2,-1,1,C).[/mathjax]

↑ andyq:

No az sem je to spravne :

(2,1,2,1) + ( -5+C / 6+C^2 ) * (2,-1,1,C)

Pak jsi nejak scital slozky vektoru mezi sebou. Nezapomen, ze k je jen nejake cislo.

Melo by tedy vyjit.. [mathjax]Pv = (2,1,2,1) + k\, (2,-1,1,C) = (2+2k, 1-k, 2+k, 1+kC)[/mathjax]

↑ andyq:

No tak to jeste dopocitej. To [mathjax]k[/mathjax] jsi prece spocital... [mathjax]{\displaystyle k=\frac{-5+C}{6+C^2}} [/mathjax]