Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 11. 2022 20:39

andyq
Zelenáč
Příspěvky: 4
Škola: VUT BRNO
Pozice: STUDENT
Reputace:   
 

Ortogonální průmět vektoru

Zdravím, potřeboval bych poradit - vysvětlit polopatě jak se počítá tento příklad . Je to téma Ortogonální průmět.

Zadání zní:
Nalezněte ortogonální průmět vektoru v = (2,1,2,1) na podprostor řešení lineární rovnice ve vektorovém prostoru R^4.

2x1 - x2 + x3 + sin(2*pi)/2 * x4 = 0


Je k tomu i správné řešení, bohužel nevím jak se k němu přišlo.

Řešení zní: Pro zjednodušení zápisu je použita C = sin(2*pi)/2


(1 * (C^2*b - 2C + 2, C^2 + C +3b + 5, C^*b-C+3b+1, -3C*b + C +6)) / C^2+6

Pokud to nejde přečíst, posílám i nahraný obrázek: https://ibb.co/GvFLfkH

Díky

Offline

 

#2 14. 11. 2022 22:03 — Editoval laszky (14. 11. 2022 22:07)

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Ortogonální průmět vektoru

Ahoj, je-li [mathjax]w\in V[/mathjax] libovolny vektor z prostoru [mathjax]V[/mathjax], na ktery delame OG prumet, a [mathjax] Pv\in V [/mathjax] hledany OG prumet, potom musi platit

[mathjax] w \cdot (Pv-v) = 0. [/mathjax]

Ve Tvem pripade splnuji vsechny vektory [mathjax]w\in V[/mathjax] rovnici

[mathjax] w\cdot (2,-1,1,C)=0. [/mathjax]

To znamena, ze musi byt [mathjax] Pv-v = k\,(2,-1,1,C) [/mathjax], tedy [mathjax]Pv = v + k\, (2,-1,1,C)[/mathjax]

Protoze ale [mathjax] Pv[/mathjax] lezi rovnez ve [mathjax] V[/mathjax], ziskas hledane [mathjax]k[/mathjax] z rovnice

[mathjax] Pv\cdot(2,-1,1,C)=0, [/mathjax]

nebo-li

[mathjax] {\displaystyle  k = -\frac{v\cdot(2,-1,1,C)}{|(2,-1,1,C)|^2} }[/mathjax]

PS: Jak v tom, co pises, tak v tom obrazku, je trochu zmatek v tech [mathjax]a[/mathjax] a [mathjax]b[/mathjax]. Zrejme napsali namisto acka becko.

Offline

 

#3 15. 11. 2022 19:11

andyq
Zelenáč
Příspěvky: 4
Škola: VUT BRNO
Pozice: STUDENT
Reputace:   
 

Re: Ortogonální průmět vektoru

↑ laszky:
Ahoj, ja se omlouvám ale stejně moc nerozumím o čem píšeš :D Tohle téma je pro mě velice nové.

Správně to teda chápu, že [mathjax] {\displaystyle  k = -\frac{v\cdot(2,-1,1,C)}{|(2,-1,1,C)|^2} }[/mathjax]  je finální řešení a výsledek?

K tomu PS:.. je v tom zmatek no, jak by to tedy bylo spravne matematicky?

Díky

Offline

 

#4 15. 11. 2022 21:21 — Editoval laszky (16. 11. 2022 00:28)

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Ortogonální průmět vektoru

↑ andyq:

Ahoj, finalni vysledek je [mathjax]Pv = v + k\, (2,-1,1,C),[/mathjax] kde za [mathjax]k[/mathjax] dosadis [mathjax] {\displaystyle  k = -\frac{v\cdot(2,-1,1,C)}{|(2,-1,1,C)|^2} }[/mathjax].

Tak tedy podrobneji. Tvym ukolem je nalezt ortogonalni (OG) prumet nejakeho vektoru [mathjax]v[/mathjax] na nejaky podprostor [mathjax]V[/mathjax] prostoru [mathjax] R^4[/mathjax].
Tento prumet si oznacime [mathjax]Pv[/mathjax]. Co musi splnovat [mathjax] Pv[/mathjax], aby se jednalo o OG prumet na [mathjax]V[/mathjax]?

1) tak urcite musi byt [mathjax]Pv\in V[/mathjax], ale taky
2) pro kazdy vektor [mathjax] w\in V[/mathjax] musi platit, ze [mathjax] \;\;w \cdot (Pv-v) = 0\;\;[/mathjax] (tj. vektor [mathjax] w[/mathjax] je kolmy (=ortogonalni) na [mathjax]Pv-v[/mathjax])

V obecnem pripade bys ted potreboval najit nejakou bazi prostoru [mathjax]V[/mathjax], vyjadrit si [mathjax]Pv[/mathjax] jako linearni kombinaci
vektoru teto baze, tj napr [mathjax] Pv=\sum_{k=1}^n\alpha_kw_k[/mathjax], tim bude splnena podminka 1). Ke splneni podminky 2)
pak potrebujes, aby bylo [mathjax] w_j\cdot(Pv-v)=0[/mathjax] pro kazde [mathjax]j=1,2,\dots,n=\dim V[/mathjax], coz lze prepsat, jako

[mathjax] {\displaystyle \sum_{k=1}^n\alpha_k (w_k\cdot w_j) = (w_j\cdot v),} \qquad [/mathjax] pro kazde [mathjax]j=1,2,\dots,n[/mathjax]

Jedna se tedy o soustavu rovnic s matici [mathjax] W_{jk}=(w_k\cdot w_j)[/mathjax], pravou stranou [mathjax]b_j=(w_j\cdot v)[/mathjax] a neznamymi [mathjax] \alpha_k[/mathjax].
Soustavu vyresis (spoctes [mathjax]\alpha_k[/mathjax]) a dosadis do [mathjax] Pv=\sum_{k=1}^n\alpha_kw_k[/mathjax]. A mas vysledek.

V tomto konkretnim pripade se lze reseni soustavy vyhout: Jelikoz je [mathjax]V[/mathjax] prostor reseni jedne linearni rovnice
v [mathjax]R^4[/mathjax], je dimenze [mathjax]V[/mathjax] rovna 3. Prostor [mathjax]V[/mathjax] ma tedy bazi tvorenou tremi vektory a vsechny tri
jsou kolme na vektor  [mathjax] (2,-1,1,C)[/mathjax], nebot [mathjax](x_1,x_2,x_3,x_4)\cdot(2,-1,1,C)=2x_1-x_2+x_3+Cx_4=0[/mathjax].

To ale znamena, ze podminka 2) bude splnena prave tehdy, kdyz bude [mathjax] Pv-v = k\,(2,-1,1,C) [/mathjax] a zbyva ti
tedy jen dopocitat tu konstantu [mathjax]k[/mathjax]. Tu urcis splnenim te podminky 1). Chces-li, aby bylo [mathjax]Pv\in V[/mathjax],
musi byt [mathjax] Pv\cdot(2,-1,1,C)=0, [/mathjax] (jak vime, to splnuji vsechny vektory z [mathjax]V[/mathjax]). To znamena, ze

[mathjax]\Bigr(v + k\, (2,-1,1,C)\Bigr) \cdot (2,-1,1,C) = 0,\quad [/mathjax] neboli [mathjax]\quad v\cdot(2,-1,1,C) + k|(2,-1,1,C)|^2=0.[/mathjax]

Z toho vyjadris hledane [mathjax]k.[/mathjax] Vysledek pak je [mathjax]Pv = v + k\, (2,-1,1,C).[/mathjax]

Offline

 

#5 17. 11. 2022 21:47

andyq
Zelenáč
Příspěvky: 4
Škola: VUT BRNO
Pozice: STUDENT
Reputace:   
 

Re: Ortogonální průmět vektoru

↑ laszky:
Ahoj, pokud tomu tedy dobre rozumim..
to [mathjax] {\displaystyle  k = -\frac{v\cdot(2,-1,1,C)}{|(2,-1,1,C)|^2} }[/mathjax] mám.. a jen do dosadím do [mathjax]Pv = v + k\, (2,-1,1,C).[/mathjax] .
Vyslo mi tedy

Pv = v + [ ( -v*(2,-1,1,C) / |(2,-1,1,C)|^2 )  ] * (2,-1,1,C)

po dosazeni

(2,1,2,1) + [ ((-2,-1,-2,-1) * (2,-1,1,C))  /  |(2,-1,1,C)^2|] * (2,-1,1,C)

Po dalsim roznasobovani a pocitani mi to vyslo

(2,1,2,1) + ( -5+C / 6+C^2 ) * (2,-1,1,C)

A vysledkem: (2,1,2,1) + (C^2-1C-10) / 6+C^2

Nicmene to mi prijde nejake divne.. Kdyztak budu rad za opravu.

Offline

 

#6 17. 11. 2022 22:02 — Editoval laszky (17. 11. 2022 22:02)

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Ortogonální průmět vektoru

↑ andyq:

No az sem je to spravne :

(2,1,2,1) + ( -5+C / 6+C^2 ) * (2,-1,1,C)

Pak jsi nejak scital slozky vektoru mezi sebou. Nezapomen, ze k je jen nejake cislo.

Melo by tedy vyjit.. [mathjax]Pv = (2,1,2,1) + k\, (2,-1,1,C) = (2+2k, 1-k, 2+k, 1+kC)[/mathjax]

Offline

 

#7 17. 11. 2022 22:28

andyq
Zelenáč
Příspěvky: 4
Škola: VUT BRNO
Pozice: STUDENT
Reputace:   
 

Re: Ortogonální průmět vektoru

Ok super

Takhle sem to pocital, nicmene to byla asi chybka z me strany.

https://ibb.co/VH61fLr

Tohle je tedy finalni podoba

https://ibb.co/FbVBFj7

Doufam ze to bude ucitelovi stacit.. =)

Offline

 

#8 17. 11. 2022 22:34

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Ortogonální průmět vektoru

↑ andyq:

No tak to jeste dopocitej. To [mathjax]k[/mathjax] jsi prece spocital... [mathjax]{\displaystyle k=\frac{-5+C}{6+C^2}} [/mathjax]

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson