Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 19. 11. 2022 09:46 — Editoval popcorn (19. 11. 2022 16:36)

popcorn
Příspěvky: 152
Škola: VŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Permutace

Ahoj,

mám úlohu:

Pro (všechna) přirozená z najděte počet uspořádaných trojic (X, Y, Z), kde [mathjax]X \subseteq Y \subseteq \{1, 2, ..., n\}[/mathjax] a zároveň [mathjax]Z \subseteq Y[/mathjax]

Kdyby v té trojici mohl být každý prvek pouze jednou, bylo by to z!,
ale může se tam opakovat, např (1, 1, 1) nebo (1, 1, 2), pokud to správně chápu... Ale nevím jak tam přičíst právě tyhle opakující se číslice.
Jak na to?

Díky

Offline

 

#2 19. 11. 2022 15:35

check_drummer
Příspěvky: 5513
Reputace:   106 
 

Re: Permutace

↑ popcorn:
Ahoj, proč to neformulovat jednodušeji jako [mathjax]Z \subseteq X \subseteq Y \subseteq \{1, 2, ..., n\}[/mathjax]
Jenom pozor, X,Y,Z jsou množiny, ne čísla.
Zkus na to jít takto: Označit barvou 1 čísla z Z, barvou 2 čísla z X\Z, atd.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#3 19. 11. 2022 16:36

popcorn
Příspěvky: 152
Škola: VŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Permutace

Špatně jsem to přepsal, mělo to být [mathjax]Z \subseteq Y[/mathjax] a né [mathjax]Z \subseteq X[/mathjax] (upravil jsem původní zadání)

Takže pokud bych to rozdělil, vniknou 3 množiny?

n = 10

X ... { 1, 2, 3 }
Y\X ... { 4, 5, 6 }
Z\X ... { 7, 8, 9, 10}

Offline

 

#4 19. 11. 2022 23:50

check_drummer
Příspěvky: 5513
Reputace:   106 
 

Re: Permutace

↑ popcorn:
Po této změně zadání už můj postup použít nelze.
Teď mě napadá vyjádřit hledaný pořčet jako sumu, kdy budeme postupně uvažovat velikosti množiny Y od 0 do n.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#5 19. 11. 2022 23:51

check_drummer
Příspěvky: 5513
Reputace:   106 
 

Re: Permutace

popcorn napsal(a):

Špatně jsem to přepsal, mělo to být [mathjax]Z \subseteq Y[/mathjax] a né [mathjax]Z \subseteq X[/mathjax] (upravil jsem původní zadání)

Takže pokud bych to rozdělil, vniknou 3 množiny?

n = 10

X ... { 1, 2, 3 }
Y\X ... { 4, 5, 6 }
Z\X ... { 7, 8, 9, 10}

Tak to být nemůže, protože Z musí být částí Y.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#6 19. 11. 2022 23:56

check_drummer
Příspěvky: 5513
Reputace:   106 
 

Re: Permutace

I když možná by ty barvy taky šly použít.... pro X\Z, Z\X a [mathjax]X \cap Z[/mathjax].
Pak by to bylo 5^n.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#7 20. 11. 2022 00:13

popcorn
Příspěvky: 152
Škola: VŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Permutace

Úplně mi není jasné, jak jsi došel k [mathjax]5^{n}[/mathjax], mohl by jsi mi to, prosím tě, nějak více popsat?

Offline

 

#8 20. 11. 2022 09:51

popcorn
Příspěvky: 152
Škola: VŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Permutace

Prý bych k řešení měl dojít pomocí užití binomické věty.

Offline

 

#9 20. 11. 2022 10:12

check_drummer
Příspěvky: 5513
Reputace:   106 
 

Re: Permutace

↑ popcorn:
Tak to půjde podle toho mého prvního návodu, kde hovořím o sumě a postupných velikostech množiny Y.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#10 20. 11. 2022 10:13

check_drummer
Příspěvky: 5513
Reputace:   106 
 

Re: Permutace

↑ popcorn:
No jestliže každý z prvků má jednu z 5 barev a prvků je n, tak z toho už plyne ten počet 5^n.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#11 20. 11. 2022 11:38

popcorn
Příspěvky: 152
Škola: VŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Permutace

Ale máme jen 3 množiny, [mathjax]X\setminus Z [/mathjax], [mathjax]Z\setminus X[/mathjax] a [mathjax]X \cap Z[/mathjax]. Pořád nechápu těch 5 barev. :/

Offline

 

#12 20. 11. 2022 13:43 — Editoval check_drummer (20. 11. 2022 13:45)

check_drummer
Příspěvky: 5513
Reputace:   106 
 

Re: Permutace

↑ popcorn:
Musíš např. rozlišit, že některé prvky nepadnou do žádné z množin.
Jako cvičení si zkus vyřešit příkald, kdy máme jen dvě množiny X,Y [mathjax]X \subseteq  Y[/mathjax].


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson