Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 27. 11. 2022 11:16
Rovnice křivky
Je dána uzavřená křivka [mathjax]e:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mathjax]. Určete obecnou rovnici křivky, která má vzdálenost od [mathjax]e[/mathjax] rovnu hodnotě [mathjax]r[/mathjax] a křivka [mathjax]e[/mathjax] je uvnitř hledané křivky.
Znáte někdo tuto křivku či dokonce její rovnici?
Její parametrické vyjádření jsem odvodil (nechci vás ovlivňovat svým postupem), ale obecná mi z toho nějak rozumně nejde...
Offline
#2 27. 11. 2022 11:40
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1150
- Reputace: 19
- Web
Re: Rovnice křivky
↑ kastanek:
Ta křivka je elipsa se středem v počátku, poloosy jsou a, b.
Není mi jasné, jak má ta křivka vypadat. je to snad menší elipsa.
Offline
#3 27. 11. 2022 12:01
Re: Rovnice křivky
↑ Richard Tuček:
Tak samozřejmě, že hledaná křivka elipsou NENÍ. Jde o křivku podobnou elipse, která se s rostoucím r limitně blíží kružnici.
Offline
#4 27. 11. 2022 12:32
- check_drummer
- Příspěvky: 4904
- Reputace: 105
Re: Rovnice křivky
↑ kastanek:
Ahoj,tak sem to parametrické vyjádření napiš a pobavíme se nad ním. Technicky bych to asi dělal tak, že si elipsu e napíšu parametricky a pomocí derivace určím směrový vektor normály a pomocí něj určím bod hledané křivky.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 27. 11. 2022 20:14 — Editoval kastanek (27. 11. 2022 20:15)
Re: Rovnice křivky
↑ check_drummer:
Jj, právě tak jsem to udělal:
[mathjax]x=t+{\frac {rbt}{\sqrt {{a}^{4}-{a}^{2}{t}^{2}+{b}^{2}{t}^{2}}}}[/mathjax]
[mathjax]y={\frac {b\sqrt {{a}^{2}-{t}^{2}}}{a}}+{\frac {ra\sqrt {{a}^{2}-{t}^{
2}}}{\sqrt {{a}^{4}-{a}^{2}{t}^{2}+{b}^{2}{t}^{2}}}}[/mathjax]
Tipoval bych to na křivku čtvrtého stupně (v obecné rovnici)...
Offline
#6 27. 11. 2022 21:46 — Editoval Honzc (28. 11. 2022 07:49)
Re: Rovnice křivky
↑ kastanek:
Myslím, že v těch rovnicích má být + -. Tedy
[mathjax]x=t+{\frac {rbt}{\sqrt {{a}^{4}-{a}^{2}{t}^{2}+{b}^{2}{t}^{2}}}}[/mathjax]
[mathjax]y=\pm ({\frac {b\sqrt {{a}^{2}-{t}^{2}}}{a}}+{\frac {ra\sqrt {{a}^{2}-{t}^{2}}}{\sqrt {{a}^{4}-{a}^{2}{t}^{2}+{b}^{2}{t}^{2}}}})[/mathjax]
[mathjax]t\in \langle-a,a\rangle[/mathjax]
Obrázek
Offline
#7 27. 11. 2022 22:14
Re: Rovnice křivky
↑ Honzc:
To je asi jedno, buď máš jednu "půlku" křivky, nebo druhou. Obě pak řeší to [mathjax]\pm[/mathjax]. To by pak ovšem mělo stejně zmizet při převodu na obecnou rovnici, což je ten hlavní problém, který mě zajímá...
Offline
#8 27. 11. 2022 22:19 Příspěvek uživatele Honzc byl skryt uživatelem Honzc. Důvod: špatně jsem si přečetl zadání
#9 28. 11. 2022 12:00
- check_drummer
- Příspěvky: 4904
- Reputace: 105
Re: Rovnice křivky
↑ kastanek:
Nebude to lepší přes standardní parametrickou rovnici elipsy? Tj. pomocí funkcí sin,cos.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#10 28. 11. 2022 14:59
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2764
- Reputace: 136
Re: Rovnice křivky
↑ kastanek:↑ check_drummer:
Je to tzv. ekvidistatnta elipsy:
parametrické rovnice
[mathjax]\Huge x=a \cos t[/mathjax]
[mathjax]\Huge y=b \sin t[/mathjax]
směrový vektor tečny
[mathjax]\Huge x'=- a \sin t[/mathjax]
[mathjax]\Huge y'= b \cos t[/mathjax]
směrový vektor normály
[mathjax]\Huge ( b \cos t; a \sin t ) [/mathjax]
je třeba normovat, přepočítat na velikost r (to je vzdálenost ekvidistanty od elipsy)
a k parametrickým rovnicím elipsy přičíst přííslušné souřadnice.
Výsledek - parametrické rovnice ekvidistanty
[mathjax]\Huge x=a \cos t +\frac {br\cos t} {\sqrt {b^2\cos ^2 t +a^2\sin ^2 t}}[/mathjax]
[mathjax]\Huge y=b \sin t +\frac {ar\sin t} {\sqrt {b^2\cos ^2 t +a^2\sin ^2 t}}[/mathjax]
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#11 28. 11. 2022 16:40
- check_drummer
- Příspěvky: 4904
- Reputace: 105
Re: Rovnice křivky
↑ Eratosthenes:
Teď je otázka, jestli ta křivka je uvnitř elipsy nebo vně. Ale v nejhorším povolíme r záporné. :-)
A druhá věc je, zda lze eliminovat t, možná to nějak půjde, vytknout z první rce cos(t), z druhé sin(t), umocnit na druhou, sečíst, ale zbyde tam ta odmocnina. To by mohl zase zkusit tazatel si s tím nějak pohrát. otázka je, zda je to vůbec proveditelné.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#12 28. 11. 2022 17:56
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2764
- Reputace: 136
Re: Rovnice křivky
↑ check_drummer:
r>0 ==> křivka vně
r<0 ==> křivka uvnitř
r=0 ==> křivka (překvapivě :-) splyne s elipsou.
>> A druhá věc je, zda lze eliminovat t
No, trochu jsem se na to díval a nevím, nevím. Je to docela masakr...
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#13 28. 11. 2022 18:25
Re: Rovnice křivky
Posud jsem se dostal taky. Dál už né.
A ani se mi nepodařilo nic moc najít. Ale našel jsem, že rovnice téhle křivky (paralelní k elipse) jsou rovnice 8. řádu.
A našel jsem rovnice popisující eliptický prstenec (kde je tedy ještě i osa z). Takže v principu stačí položit z=0, a máme co chceme.
Ale jak píše i autor příspěvku, implicitní rovnice jsou "long and unimformative". Odvodit je prý lze pomocí nějaké Grobner basis, ale já netuším co to je (a ten článek na wiki taky nechápu).
Tady je Odkaz, je to tak v půlce
Offline
#14 28. 11. 2022 18:51
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2764
- Reputace: 136
Re: Rovnice křivky
↑ MichalAld:
Tak to je něco. Takovou rovnici jsem ještě neviděl a už asi ani nikdy neuvidím :-)
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#16 29. 11. 2022 00:32
- Eratosthenes
- Příspěvky: 2764
- Reputace: 136
Re: Rovnice křivky
↑ check_drummer:
↑ kastanek:
Obecnou rovnici neumím, tak aspoň ještě obrázek:
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#17 29. 11. 2022 23:09
- check_drummer
- Příspěvky: 4904
- Reputace: 105
Re: Rovnice křivky
↑ Eratosthenes:
Tak nějak to vypadá, když se do vody hodí elipsa. :-)
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline